Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Rozwiązywanie równań i nierówności

Równania

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

Szablon:Math

Lewa strona równania często jest oznaczana przez Szablon:Math, a prawa przez Szablon:Math.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

• $x=1$,
• $t+2=3$,
• $x+2y=7$,
• $z^2-5=-1$,
• $a^2+b^2=c^2$.

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) Szablon:Math, Szablon:Math, czy np. Szablon:Math spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania $x=1$ jego rozwiązaniem będzie Szablon:Math równy Szablon:Math, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast Szablon:Math podstawimy Szablon:Math otrzymamy:

$1=1$,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. $x=3$. Dlaczego? Podstawmy zamiast Szablon:Math liczbę Szablon:Math:

$3=1$,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład, $t+2=3$? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast Szablon:Math damy Szablon:Math, otrzymamy:

$1+2=3$

$3=3$

zatem $t=1$ będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania $z^2-5=-1$ rozwiązaniem będzie $z=2$ lub $z=-2$, ponieważ:

$2^2-5=-1$

$-1=-1$

$(-2{)}^2-5=-1$

$4-5=-1$ i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie $z=3$, ponieważ:

$3^2-5=-1$

$4=-1$ i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu $4=-1$, bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać $4\ne -1$ (Szablon:Math nie jest równe Szablon:Math). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie $z^2-5=-1$ i chcemy pokazać, że $z=3$ nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

$L=z^2-5$,

$P=-1$.

Jeśli $z=3$, to:

$L=3^2-5=4$,

ale

$4\ne -1$,

a więc:

$L\ne P$.

Równanie nie jest spełnione, zatem $z=3$ nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość $L=P$, to równanie zostałoby spełnione przez $z=3$, a zatem Szablon:Math byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań

Aby ładnie , a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. $x+5=7$, to liczbę Szablon:Math możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

$x=7-5$, czyli

$x=2$

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie Szablon:Math na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania Szablon:Math, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

$x+5-5=7-5$

$x=7-5$.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

• jeśli $2x+5=6$, to $2x=6-5$,
• jeśli $3x=x+2$, to $3x-x=2$,
• jeśli $x^2-2=3+x$, to $x^2-2-x=3$.

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

• $\frac{x}{2}=3/\cdot 2$ - obustronnie mnożymy przez Szablon:Math
• $3x=6/:3$ - obustronnie dzielimy przez Szablon:Math
• $\frac{3}{4}x=2/\cdot \frac{4}{3}$ - obustronnie mnożymy przez $\frac{4}{3}$.

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

• $2x+3=5$ (1)
• $-x+2=0$ (2)
• $100x-\frac{1}{2}=0$ (3)
• $\frac{7x+2}{2}=6$ (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

$2x+3=5/-3$

$2x=5-3=2/:2$ - obustronnie dzielimy przez 2

$x=1$, które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

$-x+2=0$

$-x=-2/\cdot (-1)$

$x=2$

Teraz zrobimy (3):

$100x-\frac{1}{2}=0$

$100x=\frac{1}{2}/:100$

$x=\frac{1}{200}$

Pozostał ostatni przykład:

$\frac{7x+2}{2}=6/\cdot 2$

$7x+2=12$

$7x=10/:7$

$x=\frac{10}{7}=1\frac{3}{7}$

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

• Szablon:Math (1)
• Szablon:Math (2)
• $-2x+4\ge -3x+5$ (3)
• $-\frac{1}{2}x+3\ge 5$ (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla $\frac{x}{2}<2$ będziemy mieli:

$\frac{x}{2}<2/\cdot 2$

$x<2\cdot 2$ (nie zmieniamy znaku na przeciwny, Szablon:Math nie jest ujemne)

ale dla $\frac{x}{-2}\le 2$ będzie:

$\frac{x}{-2}\le 2/\cdot (-2)$ (musimy zmienić znak na przeciwny, Szablon:Math jest ujemne)

$x\ge 2\cdot (-2)$

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

$2x>3$

$2x>3/:2$

$x>1\frac{1}{2}$

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

$5x-2<2$

$5x<2+2=4/:5$

$x<\frac{4}{5}$

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

$-2x+4\ge -3x+5$

$-2x+3x\ge 5-4$

$x\ge 1$

I został ostatni przykład (4):

$-\frac{1}{2}x+3\ge 5$

$-\frac{1}{2}x\ge 5-3$

$-\frac{1}{2}x\ge 2/\cdot -2$

$x\le -4$

Przypisy

---

Szablon:Nawigacja