Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Podsumowanie

Zbiory

Zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Słowo zbiór rozumiemy jako pewną mnogość, zestaw, np. zbiór ciastek, zbiór liczb, zbiór uczniów w klasie.

Przyjęto oznaczać zbiory za pomocą wielkich liter, np. Szablon:Math, Szablon:Math, czy też Szablon:Math, natomiast elementy zbioru za pomocą małych, np. Szablon:Math, Szablon:Math, Szablon:Math.

$a\in A-$ element a należy do zbioru A,

$b\notin B-$b nie należy do B,

$C=\{a,c,d,e\}-$ wypisanie elementów zbioru C,

$|C|=4-$ ilość elementów zbioru, czyli jego moc.

Zbiory liczb

$\mathbb{N}-$ zbiór liczb naturalnych (nie zawiera ułamków i liczb ujemnych)

$\mathbb{Z}-$ zbiór liczb całkowitych (nie zawiera ułamków), szkolny zapis: C

$\mathbb{Q}-$ zbiór liczb wymiernych (nie zawiera liczb, których nie da się zapisać jako ułamek lub liczbę całkowitą), szkolny zapis: W

$ℝ-$ zbiór liczb rzeczywistych, inaczej zbiór (niemal) wszystkich liczb (suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych)

$\varnothing -$ zbiór pusty.

Potęga

Potęga o wykładniku naturalnym Szablon:Math:

$\begin{array}{cc}{a}^n=& \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}\\ & n\text{ czynnik}\acute{\text{o}}w\end{array}$,

przy czym $a^0=1$.

Liczba $0^0$ nie ma sensu liczbowego.

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$

Pierwiastek

Jeśli $b=\sqrt[n]{a}$, to $b^n=a$

$\sqrt[n]{a^n}=a$ dla nieparzystych Szablon:Math lub $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ dla n parzystych ($|a|$ to wartość bezwzględna liczby).

Kolejność wykonywania działań

1. potęgowanie lub pierwiastkowanie
2. mnożenie lub dzielenie (wg kolejności zapisu)
3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna)

Wzory skróconego mnożenia

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ (kwadrat sumy)
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ (kwadrat różnicy)
• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ (różnica kwadratów)
• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ (sześcian sumy)
• $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ (sześcian różnicy)
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ (suma sześcianów)
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ (różnica sześcianów)

Przekształcanie równań i nierówności

• Do każdego równania możemy dodać lub odjąć obustronnie dowolną liczbę.
• Przy przenoszeniu pewnej zmiennej lub liczby z jednej na drugą stronę równania/nierówności należy zmienić znak na przeciwny.
• Każde równanie i nierówność można obustronnie wymnożyć przez liczbę różną od Szablon:Math, jednak przy wymnażaniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny.

Szablon:Nawigacja