Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Działania arytmetyczne

Potęgi i pierwiastki

Potęga o wykładniku całkowitym

Szablon:Indeksuj Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną. Szablon:Indeksuj Szablon:Mat:Def

Pamiętajmy o tym, że $0^0$ nie ma sensu liczbowego.

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

• $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$
• $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$
• $5^0=1$

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji. Szablon:Indeksuj Szablon:Mat:Def

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

• $3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$
• $2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$
• ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=27$
• $(-2{)}^{-4}=\frac{1}{(-2{)}^4}=\frac{1}{16}$

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności: Szablon:Indeksuj Szablon:Mat:Tw

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:

• $3^{-3}\cdot 3^3=3^{-3+3}=3^0=1$

• $\frac{(-7{)}^{-100}}{(-7{)}^{-98}}=(-7{)}^{-100-(-98)}=(-7{)}^{-2}=\frac{1}{(-7{)}^2}=\frac{1}{49}$

• ${\left(10^2\right)}^3=10^{2\cdot 3}=10^6=1000000$

• $(-5{)}^5\cdot (-2{)}^3=(-5{)}^2\cdot (-5{)}^3\cdot (-2{)}^3=25\cdot ((-5{)}^3\cdot (-2{)}^3)=25\cdot ((-5)\cdot (-2){)}^3=25\cdot 10^3=25000$

Pierwiastkowanie

Szablon:Indeksuj Spójrzmy na definicję: Szablon:Mat:Def

W $\sqrt[n]{a}$ liczba Szablon:Math jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

• jeśli $b=\sqrt[n]{a}$, to $b^n=a$ np. $4=\sqrt[3]{64}$, ponieważ $4^3=64$;
• ani Szablon:Math, ani Szablon:Math nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza $\sqrt[4]{-81}$;
• Szablon:Math jest liczbą całkowitą, większą bądź równą Szablon:Math, np. $\sqrt[2]{a}$, $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[4]{a}$, $\sqrt[5]{a}$ itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby Szablon:Math, aby $b^n=a$, czyli:

$\sqrt{9}=3$, ponieważ $3^2=9$,

$\sqrt[3]{125}=5$, ponieważ $5^3=125$,

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$, ponieważ ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$.

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako $\sqrt{a}$ zamiast $\sqrt[2]{a}$.

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy Szablon:Math jest ujemne:

$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$ dla Szablon:Math nieujemnego i nieparzystego Szablon:Math

Na przykład:

$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$,

$\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2$,

$\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-5$.

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

• $\sqrt{36\cdot 49}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{49}=\sqrt{6^2}\cdot \sqrt{7^2}=6\cdot 7=42$,
• $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{2}{5}$,
• $\sqrt[3]{27^4}={\sqrt[3]{27}}^4={\sqrt[3]{3^3}}^4=3^4=81$,
• $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[2\cdot 3]{64}=\sqrt[3\cdot 2]{64}=\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$.

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla Szablon:Math parzystego i $a\ge 0$ zachodzą poniższe własności:

• $\sqrt[n]{a^n}=a$, ale
• $\sqrt[n]{(-a{)}^n}=a$.

Jednak nie są one spełnione dla Szablon:Math nieparzystego.

Dla Szablon:Math nieparzystego i dowolnego $a\in ℝ$ zachodzi:

• $\sqrt[n]{a^n}=a$

Zobaczmy na przykłady:

$\sqrt{5^2}=5$, ale także $\sqrt{(-5{)}^2}=5$, ponieważ $(-5{)}^2=25=5^2$;

$\sqrt[3]{2^3}=2$, ale $\sqrt[3]{(-2{)}^3}=-2\ne 2$;

$\sqrt[4]{8^4}=8$, a także $\sqrt[4]{(-8{)}^4}=8$ ($8^4=(-8{)}^4$);

$\sqrt[5]{7^5}=7$, ale $\sqrt[5]{(-7{)}^5}=-7\ne 7$.

Potęga o wykładniku wymiernym

Popatrzmy na kilka przykładów:

• $4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$,
• $25^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{25}=\sqrt[2\cdot 2]{25}=\sqrt{\sqrt{25}}=\sqrt{5}$,
• $27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3$.

Nie wiemy, co oznacza $(-9{)}^{\frac{1}{2}}$, czy też $(-27{)}^{\frac{1}{3}}$. Co prawda $\sqrt[3]{-27}=-3$, ale wartość $(-27{)}^{\frac{1}{3}}$ pozostawimy niezdefiniowaną.

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

• $4^{\frac{3}{2}}={\sqrt{4}}^3=2^3=8$,
• $81^{\frac{3}{4}}={\sqrt[4]{81}}^3=3^3=27$
• $27^{\frac{2}{3}}={\sqrt[3]{27}}^2=3^2=9$

Dla potęg zachodzą poniższe własności: Szablon:Indeksuj Szablon:Mat:Tw

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

• $5^{\mathrm{30,5}}\cdot 5^{-\mathrm{28,5}}=5^{\mathrm{30,5}-\mathrm{28,5}}=5^2=25$,
• $\frac{16^{\mathrm{3,75}}}{16^4}=16^{\mathrm{3,75}-4}=16^{-\mathrm{0,25}}=\frac{1}{16^{\mathrm{0,25}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{16}}=\frac{1}{2}$,
• $2^{\sqrt{2}-1}\cdot 2^{3-\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2}}=2^2=4$.

Działania na liczbach rzeczywistych

Kolejność wykonywania działań

Szablon:Indeksuj Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,
2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

$2+2-3-20:4\cdot 5$

Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:

$2+2-3-20:4\cdot 5=2+2-3-5\cdot 5=2+2-3-25$.

Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):

$2+2-3-25=4-3-25=1-25=-24$.

Przykład 2.

$2^3+3^2+\sqrt{-1+5^2-16:4\cdot 6:3}$

Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:

$2^3+3^2+\sqrt{-1+5^2-16:4\cdot 6:3}=8+9+\sqrt{-1+25-16:4\cdot 6:3}$.

Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:

najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):

$8+9+\sqrt{-1+25-16:4\cdot 6:3}=$

$=8+9+\sqrt{-1+25-4\cdot 6:3}=$

$=8+9+\sqrt{-1+25-24:3}=$

$=8+9+\sqrt{-1+25-8}$,

następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:

$8+9+\sqrt{-1+25-8}=8+9+\sqrt{24-8}=8+9+\sqrt{16}$

i w końcu wyciągamy pierwiastek:

$8+9+\sqrt{16}=8+9+4$.

Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

$8+9+4=17+4=21$

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

$2^{3+2}-\sqrt{2^{3-2}:2\cdot \frac{9}{4}}=2^5-\sqrt{2^1:2\cdot \frac{9}{4}}=32-\sqrt{\frac{9}{4}}=32-\frac{3}{2}=\mathrm{30,5}$

Przykład 4.

$\sqrt{(4^2+6^2):(2:13)}+2=\sqrt{(16+36):\frac{2}{13}}+2=\sqrt{52\cdot \frac{13}{2}}+2=13\sqrt{2}+2$

Wzory skróconego mnożenia

Szablon:Indeksuj Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ (kwadrat sumy),
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ (kwadrat różnicy),
• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ (różnica kwadratów),
• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ (sześcian sumy),
• $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ (sześcian różnicy),
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ (suma sześcianów),
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

• $(3+5{)}^2=3^2+2\cdot 3\cdot 5+5^2=9+30+25=64$,
• $9^3-8^3=(9-8)(9^2+9\cdot 8+8^2)=1\cdot (81+72+64)=217$,
• $(4+3{)}^3=4^3+3\cdot 4^2\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3^2+3^3=64+144+108+27=343$,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

$4^3-3\cdot 4^2\cdot 5+3\cdot 4\cdot 5^2-5^3$.

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

$4^3-3\cdot 4^2\cdot 5+3\cdot 4\cdot 5^2-5^3=(4-5{)}^3=-1$.

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

Różne prawa działań

Szablon:Indeksuj Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

• $a+b=b+a$
• $a\cdot b=b\cdot a$

Czyli np. $10+20=20+10$, podobnie też $5\cdot 6=6\cdot 5$. Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ $5-6=-1\ne 6-5=1$ czy też $6:2=3\ne 2:6=\frac{1}{3}$.

Jednakże dla odejmowania spełnione jest następujące prawo:

$a-b=a+(-b)=-b+a$

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

• $(a+b)+c=a+(b+c)$,
• $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$,

czyli na przykład:

$(2+3)+4=2+(3+4)$, ponieważ

$(2+3)+4=5+4=9$, a także

$2+(3+4)=2+7=9$.

Podobnie dla mnożenia:

$(3\cdot 5)\cdot 2=3\cdot (5\cdot 2)$, ponieważ

$(3\cdot 5)\cdot 2=15\cdot 2=30$

i $3\cdot (5\cdot 2)=3\cdot 10=30$.

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

• $(8-5)-2=3-2=1\ne 8-(5-2)=8-3=5$, dosyć duża różnica.
• $(12:2):3=6:3=2\ne 12:(2:3)=12:\frac{2}{3}=12\cdot \frac{3}{2}=18$, różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

• jeśli $a+c=b+c$, to $a=b$ (skreśliliśmy Szablon:Math),
• jeśli $a\cdot c=b\cdot c$ i $c\ne 0$, to $a=b$ (także skreśliliśmy Szablon:Math)

Przykłady:

• Jeśli $a+10=20+10$, to $a=20$.
• Jeśli $a\cdot 3=4\cdot 3$, to $a=4$.

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

• prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

• prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:

  $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$

• prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:

  $\frac{(a+b)}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$

• prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:

  $\frac{(a-b)}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}$

Zobaczmy na kilka przykładów:

$5\cdot (2+3)=5\cdot 2+5\cdot 3=10+15=25$,

podobnie:

$(25-10):5=25:5-10:5=5-2=3$,

a także:

$15\cdot 28=15\cdot (30-2)=15\cdot 30-15\cdot 2=450-30=420$

Ważną obserwacją jest na przykład:

$10+0=0+10=10$,

$-5+0=-5$,

$0+3\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}$.

Ze względu na tę własność, mianowicie $a+0=0+a=a$, liczba Szablon:Math jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do Szablon:Math, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba Szablon:Math jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ np.

$10\cdot 1=10$,

$1\cdot 4=4$,

$-3\cdot 1=-3$.

Czy liczba Szablon:Math jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi $a:1=a$, jednak $a:1\ne 1:a$, np. $5:1\ne 1:5=\frac{1}{5}$. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej Szablon:Math istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna Szablon:Math, która spełnia warunek:

$a+(-a)=0$.

Na przykład liczbą przeciwną do Szablon:Math jest Szablon:Math, do Szablon:Math jest Szablon:Math, a do Szablon:Math jest też Szablon:Math.

Dla każdej liczby rzeczywistej Szablon:Math różnej od Szablon:Math istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna $\frac{1}{a}$ spełniająca warunek:

$a\cdot \frac{1}{a}=1$.

Liczbą odwrotną do Szablon:Math będzie $\frac{1}{2}$, do Szablon:Math będzie $-\frac{1}{10}$, do $\frac{3}{7}$ będzie $\frac{7}{3}$, a do $-\pi$ będzie $-\frac{1}{\pi }$.

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy Szablon:Math:

$(a\cdot b=0)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a=0\text{ lub }b=0$,

np. $2\cdot a=0$ jedynie wtedy, gdy $a=0$.

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.

Przypisy

---

Szablon:Nawigacja