Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Ćwiczenia

Podstawy

3. Co może stanowić zbiór, a co element zbioru?

a) książki do geografii	e) bułka słodka	i) głośnik
b) zwierzęta	f) Jacek, Bolek i Agata	j) zielone marchewki
c) kangur	g) litera	k) poziomka
d) kredki	h) wszystkie zbiory	l) zeszyty szkolne

4. Wypisz nieujemne elementy zbioru:

a) liczb naturalnych, mniejszych od 10	c) $\{-25,-16,-9,-4,-1,0,1,4,9,16,25\}$
b) liczb całkowitych mniejszych od 97 i podzielnych przez 5	d) liczb niedodatnich

5. Wyznacz moc zbioru:

a) $A=\{-1,2,10\}$	d) $D=\{1,-2\}$	g) $G=\{\varnothing \}$
b) $B=\varnothing$	e) $E=\{1,5,25,525,1024,235\}$	h) $H=\{\{2,9,15\},\{3,4,5\}\}$
c) $C=\{5\}$	f) $F=\{k,l,p,q\}$	i) $I=\{1,\{2,\{5,6\}\},\{\pi ,e\}\}$

6. Czy do zbioru Szablon:Math należy element Szablon:Math?

a) $A=\{1,2,3\}$, $a=3$	e) $A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}$, $a=1$
b) $A=\{1,2,3\}$, $a=10$	f) $A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}$, $a=\{6,5\}$
c) $A=\{1,2,3\}$, $a=-2$	g) $A=\{-2,\{1,2\},\{2,3,4\}\}$, $a=-2$
d) $A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}$, $a=\{2,3\}$	h) $A=\{-2,\{1,2\},\{2,3,4\}\}$, $a=\{2,3\}$

7. Pokaż, że dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy.

Ćwiczenia domowe

8. Która z poniższych liczb jest naturalna, całkowita, wymierna, a która niewymierna?

a) $2+2$	e) $\mathrm{1,234567891011121314}\dots$	i) $\frac{1}{1-\sqrt{2}}-\sqrt{2}$
b) $2-2$	f) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$	j) $(1-\pi )(1+\sqrt[3]{2})(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})+3\pi$
c) $(1-2)\cdot (1+2)$	g) $\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2}$	k) $(\pi +1{)}^2$
d) $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$	h) $(\pi -2{)}^2-{\pi }^2-4\pi$	l) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4^2+3^2}}$

9. Rozwiąż równania:

a) $5x=10$	d) $-\sqrt{2}x-3=4$
b) $3x-3=0$	e) $(4-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})x-16=5$
c) $7x+2=-12$	f) $\frac{-2x+10}{3}+2=7$

10. Rozwiąż nierówności:

a) $2x>6$	d) $\frac{2x-1}{3}\le 7$
b) $-5x+6\le 2$	e) $\frac{-3x-3}{7}>4$
c) $\frac{7}{2}x-4<8$	f) $(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})x+4\ge 8$

11. Oblicz:

a) $5-3\cdot 2+8$	j) $\frac{20^2-19^2}{13}$
b) $2+9:3-1$	k) $\frac{(6-3)(36+18+9)}{8+3\cdot 4+3\cdot 2+1}$
c) $7\cdot (5+4)-9$	l) $3^5\cdot 3^{-2}-(5\cdot 3^2{)}^2+5^7\cdot 5^{-5}$
d) $(3+5):4\cdot 2+7$	m) $\frac{(6+2)(36-12+4)}{2}$
e) $\frac{5\cdot (4-3)+15}{4}$	n) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}\cdot 2^{-90}-\frac{1}{4^{50}}$
f) $((3-5)(4+9)-9)\cdot 3$	o) $999998^2+2\cdot 2\cdot 999998+2^2$
g) $3\cdot (2+(11-1)\cdot 3)-13$	p) $\frac{99999\cdot (10^5+1)+1}{10^4}$
h) $(5^2-3^2{)}^2-1$	q) $-((-5{)}^2+(-2{)}^2{)}^2-(-5^2+2^2{)}^2$
i) $\frac{(12-3{)}^2-9}{7}$	r) $((50+1{)}^2-(50-1{)}^2)(14^2+2\cdot 14+2^2)-14^3$

Ćwiczenia na myślenie

12. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru $A=\{1,2\}$:

• $\varnothing$, zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru
• $\{1\}$
• $\{2\}$
• $\{1,2\}$

a) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:

• $A=\varnothing$
• $B=\{1\}$
• $C=\{1,2,3\}$

b) Ile różnych podzbiorów ma zbiór:

• Szablon:Math-elementowy
• Szablon:Math-elementowy
• Szablon:Math-elementowy
• Szablon:Math-elementowy

13. Pokaż, że:

a) jeśli liczba Szablon:Math i Szablon:Math jest wymierna ($p,q\in \mathbb{Q}$), to liczba Szablon:Math także jest wymierna (czyli $p+q\in \mathbb{Q}$).

b) jeśli liczba Szablon:Math jest wymierna ($p\in \mathbb{Q}$) i Szablon:Math jest niewymierna ($q\in 𝕀\mathbb{Q}$), to liczba Szablon:Math jest niewymierna ($p+q\in 𝕀\mathbb{Q}$).

c) oznaczmy przez ${\mathbb{Q}}_{\mathbb{+}}$ zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba $p\in {\mathbb{Q}}_{\mathbb{+}}$, $\sqrt{p}\in 𝕀\mathbb{Q}$ i $q\in {\mathbb{Q}}_{\mathbb{+}}$, to $(\sqrt{p}+q{)}^2\in 𝕀\mathbb{Q}$.

Ćwiczenia dodatkowe

14. Niektóre zbiory mają tę samą moc, tzn. mają taką samą liczbę elementów, np. zbiór $A=\{1,2,3\}$ ma taką samą liczbę elementów co $B=\{5,6,7\}$. Zbiory są równoliczne (są tej samej mocy), gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna. Pokaż, że:

a) zbiory $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Z}$ są równoliczne

b) zbiory $\mathbb{N}$ i ${\mathbb{Q}}_{\mathbb{+}}$ mają taką samą liczbę elementów

c) zbiory $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Q}$ są równoliczne

d) zbiór $(0;1)$ jest równoliczny z $ℝ$

Szablon:Nawigacja