Matematyka dla liceum/Wielomiany/Wiadomości wstępne

Jednomian

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

Jednomianem może być:

$4$	$x$	$2a$
$3abc$	$4b^3$	$\frac{5}{7}{a}^2$

Wielomiany

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu $x$ możemy dodać $2a$ otrzymując $x+2a$. Innym przykładem sumy jednomianów może być:

• $x^3+y^2+z^3$,
• $\frac{4}{3}{x}^7+x^5+x$,
• $a^2+2ab+b^2$,

a takie coś nazywamy wielomianami.

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np. $-a^2+b^2+4c+d$ będzie wielomianem czterech zmiennych Szablon:Math, Szablon:Math, Szablon:Math i Szablon:Math. Wielomian $3x+2y$ będzie wielomianem dwóch zmiennych Szablon:Math i Szablon:Math, a wielomian $4x^2+3x+1$ będzie wielomianem jednej zmiennej Szablon:Math. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako $W(x)$, $P(x)$, $Q(x)$ np.:

• $W(x)=x^2+2x-1$,
• $P(x)=2x-1$,
• $Q(x)=2x^{123}-2x^{122}+2x^{121}-\dots +2x^3-2x^2+2x^1-2$.

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

Liczby $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie $W(x)=6x^3+4x^2+3x+2$ współczynnikami będą $a_3=6$, $a_2=4$, $a_1=3$ i $a_0=2$.

A ile wynosi współczynnik przy Szablon:Math potędze w wielomianie $2x^3+x$? Odpowiedź wydaje się prosta, $a_{23}=0$, ponieważ $2x^3+x=0x^{23}+2x^3+x$.

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie Szablon:Math, że $a_n\ne 0$ np. $P(x)=3x^6+x^2+1$ jest wielomianem Szablon:Math. stopnia, ale wielomian $Q(x)=0x^{100}+23x+1$ jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ $a_1=23$ i każde $a_{>1}=0$.

Zauważmy, że funkcja stała $f(x)=a$ jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b,a\ne 0$ jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa $g(x)=a{x}^2+bx+c,a\ne 0$ jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianu

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

• $W_1(x)=10x^3+5x^2+7x+10$,
• $W_2(x)=x^{50}+2x^{21}+4x$,
• $W_3(x)=x+1$.

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

• $P_1(x)=10+7x+5x^2+10x^3$
• $P_2(x)=4x+2x^{21}+x^{50}$
• $P_3(x)=1+x$

Równość wielomianów

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany Szablon:Math i Szablon:Math będą sobie równe, jeśli dla wszystkich $x$ zachodzi $P(x)=Q(x)$, a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

Na przykład wielomiany $A(x)=10x^3+3x^2+4x$ oraz $B(x)=10x^3+3x^2+4x$ są równe, ale $C(x)=9x^5+4x^2+x$ oraz $D(x)=10x^5+4x^2+x$ nie są równe. Podobnie wielomian $W(x)=x^4+x$ jest równy wielomianowi $P(x)=\frac{2x+2x^4}{2}$, ale nie jest równy wielomianowi $P(x)=2x^4+2x$. Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian $P(x)=\frac{2x^3}{x^2}$ nie jest równy wielomianowi $Q(x)=2x$.

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.

Szablon:Nawigacja