Matematyka dla liceum/Wielomiany/Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

Dodawanie wielomianów

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.

$A (x) = 4 x^{5} + x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 20$
$B (x) = 13 x^{5} + 7 x^{4} + x^{3} + 11$

$A (x) + B (x) = 4 x^{5} + x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 20 + 13 x^{5} + 7 x^{4} + x^{3} + 11 = 17 x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 31$

Dodawanie wielomianów jest przemienne oraz łączne:

$A (x) + B (x) = B (x) + A (x)$ - przemienność

$(A (x) + B (x)) + C (x) = A (x) + (B (x) + C (x))$ - łączność

Odejmowanie wielomianów jest podobne do dodawania. Od współczynników pierwszego wielomianu musimy odjąć współczynniki drugiego:

$A (x) = 4 x^{5} + x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 20$
$B (x) = 13 x^{5} + 7 x^{4} + x^{3} + 11$

$A (x) - B (x) = 4 x^{5} + x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 20 - (13 x^{5} + 7 x^{4} + x^{3} + 11) = - 9 x^{5} - 7 x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 9$

Odejmowanie wielomianów podobnie jak zwykłe odejmowanie nie jest przemienne ani łączne:

$A (x) - B (x) \neq B (x) - A (x)$

$(A (x) - B (x)) - C (x) \neq A (x) - (B (x) - C (x))$

1) Dodaj wielomiany

$A (x) = 6 x^{3} + 13 x^{2} + 20 x$ oraz $B (x) = 10 x^{4} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x + 10$
$C (x) = 11 x^{20} + 120 x^{13} + 10 x^{10} + 5 x + 7$ oraz $D (x) = 11 x^{21} + 3 x^{19} + 9 x^{10} + x - 4$

2) Odejmij wielomiany

$A (x) = 6 x^{3} + 13 x^{2} + 20 x$ oraz $B (x) = 10 x^{4} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x + 10$
$C (x) = 11 x^{20} + 120 x^{13} + 10 x^{10} + 5 x + 7$ oraz $D (x) = 11 x^{21} + 3 x^{19} + 9 x^{10} + x - 4$

3) $W (x) = 4 x^{6} + 9 x^{4} + 8 x^{3} + 5 x^{2} + x + 1 i P (x) = 3 x^{6} + x^{5} + 2 x^{4} + 2 x^{2} + 3 x + 10$ Podaj wzór wielomianu Q(x) jeśli: