Matematyka dla liceum/Trygonometria/Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Szablon:Indeksuj ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

$ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha =1$

---

Dowód prawdziwości ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:

Szablon:Indeksuj ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że $\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$ ponieważ

$a^2+b^2=c^2/\cdot \frac{1}{c^2}$

$\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}$

$\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$

Dowód prawdziwości $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Szablon:Indeksuj $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}$

Dowód prawdziwości $ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

Szablon:Indeksuj $ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}$

Dowód prawdziwości $tg\alpha \cdot ctg\alpha =1$

Szablon:Indeksuj $tg\alpha \cdot ctg\alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1$

Pozostałe tożsamości trygonometryczne

Funkcje sumy i różnicy kątów

Szablon:Indeksuj $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +cos\alpha \cdot \sin \beta$

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -cos\alpha \cdot \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -sin\alpha \cdot \sin \beta$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +sin\alpha \cdot \sin \beta$

$tg(\alpha +\beta )=\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha \cdot tg\beta }$ ,     jeżeli     $\cos \alpha \ne 0\wedge \cos \beta \ne 0\wedge \cos (\alpha +\beta )\ne 0$

$tg(\alpha -\beta )=\frac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha \cdot tg\beta }$ ,     jeżeli     $\cos \alpha \ne 0\wedge \cos \beta \ne 0\wedge \cos (\alpha -\beta )\ne 0$

$ctg(\alpha +\beta )=\frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta -1}{ctg\alpha +ctg\beta }$ ,     jeżeli     $\sin \alpha \ne 0\wedge \sin \beta \ne 0\wedge \sin (\alpha +\beta )\ne 0$

$ctg(\alpha -\beta )=\frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta +1}{ctg\beta -ctg\alpha }$ ,     jeżeli     $\sin \alpha \ne 0\wedge \sin \beta \ne 0\wedge \sin (\alpha -\beta )\ne 0$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Szablon:Indeksuj Dla dowolnych kątów o miarach $\alpha$ i $\beta$

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

Funkcje kąta podwójnego

Szablon:Indeksuj $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

$tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-t{g}^2\alpha }$,     jeżeli     $\cos \alpha \ne 0\wedge \cos 2\alpha \ne 0$

$ctg2\alpha =\frac{ct{g}^2\alpha -1}{2ctg\alpha }$,     jeżeli     $\sin 2\alpha \ne 0$

Szablon:Nawigacja