Matematyka dla liceum/Trygonometria/Równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne

Szablon:Indeksuj Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywać równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach będących argumentem funkcji trygonometrycznej. Przykładami równań trygonometrycznych mogą być:

• $\sin x=-\frac{1}{2}$
• ${\cos }^{2}x+\sin x=-\frac{1}{2}$
• $tgx=100$

Szablon:Mat:Tw

Przykład 1. Rozwiążmy równanie $\sin x=\frac{1}{2}$:

Ponieważ $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$, więc $x_0=\frac{\pi }{6}$

Stąd mamy:

$x=x_0+2k\pi =\frac{\pi }{6}+2k\pi$

lub $x=\pi -x_0+2k\pi =(\pi -\frac{\pi }{6})+2k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Przykład 2. Rozwiążmy równanie $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{7\pi }{6}$

Zatem:

$x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=-\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=-\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Przykład 3. Rozwiążmy równanie $tgx=-1$:

$tgx=-1=tg(-\frac{\pi }{4})$

Zatem:

$x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Szablon:Nawigacja