Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty - zaawansowane

Twierdzenie o przekątnych równoległoboku

Suma podwojonych kwadratów długości boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów przekątnych tego równoległoboku.

Plik:Równoległobok1.png

• Założenia:
  • $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }BCD=\alpha$
  • $\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }ABC=\beta$

• Teza:
  • $d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2$

• Dowód:

1. W równoległoboku suma kątów musi być równa 360 stopni, co pozwala ułożyć równanie: $2\alpha +2\beta =360⟺\beta =180-\alpha$
2. Wyliczamy przekątną $d_1=|BD|$ z twierdzenia cosinusów (dla kąta $\alpha$)
   $d_1^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \alpha$
3. Wyliczamy przekątną $d_2=|AC|$ z twierdzenia cosinusów (dla kąta $\beta$)
   $d_2^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (180-\alpha )$
   $cos(180-\alpha )=-cos\alpha \Rightarrow d_2^2=a^2+b^2+2ab\cdot \cos \alpha$
4. Dodajemy do siebie dwie przekątne
   $d_1^2+d_2^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \alpha +a^2+b^2+2ab\cdot \cos \alpha$
5. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy równanie w postaci
   $d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2$

Twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezu

Założenia

Dany jest dowolny trapez ABCD, gdzie zakładamy że:

• $|AB|=a$
• $|CD|=b$

Wyliczyć z kolei musimy odległość między środkami przekątnych tego trapezu, przez co wprowadzamy kolejne założenia:

$|AK|=\frac{|AC|}{2}$

$|BL|=\frac{|BD|}{2}$

Teza

$|KL|=\frac{a-b}{2}$

Dowód

Plik:T przekatne.jpg

Omawiany trapez przedstawia się w sytuacji jak na załączonym rysunku. Odcinek KL zawiera się w środkowej trapezu ( prosta MN ), co pozwala wprowadzić następujące oznaczenia: $|AM|=\frac{|AD|}{2}$

$|BN|=\frac{|BC|}{2}$

$|KL|=|ML|-|MK|$

Dla ułatwienia można przedstawić sytuacje w postaci dwóch trójkątów:$\mathrm{△}ABD$ i $\mathrm{△}ADC$

Trójkąt ADC:

W trójkącie ADC mamy odcinek MK, który jest równy $\frac{b}{2}$, ponieważ trójkąty AMK i ADC są podobne (podobieństwo kkk).

$|AM|=\frac{|AD|}{2}$  i  $|AK|=\frac{|AC|}{2}$

Tak więc i między odcinkami MK i DC zachodzi następująca proporcja:

$\frac{|AM|}{|AD|}=\frac{|MK|}{|DC|}⟺\frac{1}{2}=\frac{|MK|}{|DC|}⟺|MK|=\frac{|DC|}{2}$

$|DC|=b\Rightarrow |MK|=\frac{b}{2}$

Trójkąt ABD:

W trójkącie ABD mamy odcinek ML, który jest równy $\frac{a}{2}$, ponieważ trójkąty DML i ABD są podobne (podobieństwo kkk).

$|AM|=\frac{|AD|}{2}$  i  $|DL|=\frac{|DB|}{2}$

Tak więc i między odcinkami ML i AB zachodzi następująca proporcja:

$\frac{|AM|}{|AD|}=\frac{|ML|}{|AB|}⟺\frac{1}{2}=\frac{|ML|}{|AB|}⟺|ML|=\frac{|AB|}{2}$

$|AB|=a\Rightarrow |ML|=\frac{a}{2}$

Wniosek ostateczny:

$|ML|=\frac{a}{2}\wedge |MK|=\frac{b}{2}⟺|KL|=|ML|-|MK|=\frac{a-b}{2}$

$|KL|=\frac{a-b}{2}$

Szablon:Nawigacja