Matematyka dla liceum/Logika/Spójniki logiczne
Koniunkcja
Szablon:Indeksuj Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako r. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:
- „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez Szablon:Math
- „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez Szablon:Math
Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem i, które w matematyce oznaczamy przez . Zdania połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Możemy przyjąć, że zdanie Szablon:Math jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (Szablon:Math) i kupiliśmy książkę (Szablon:Math). Natomiast, jeśli któreś ze zdań Szablon:Math i Szablon:Math byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania Szablon:Math wynosiłaby Szablon:Math. W zależności od wartości logicznych Szablon:Math i Szablon:Math możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania (czyli zdania Szablon:Math), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania Szablon:Math i Szablon:Math są prawdziwe.
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
|---|---|---|
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.
Alternatywa
Szablon:Indeksuj Oznaczmy przez Szablon:Math zdanie: „Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”. Zdanie Szablon:Math możemy podzielić na dwa zdania proste:
- zdanie Szablon:Math: „Dziś rano posprzątam w pokoju”
- i zdanie Szablon:Math: „Dziś rano pooglądam telewizję”
połączone spójnikiem lub. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, spójnik lub oznaczamy przez . Nasze zdanie Szablon:Math będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie Szablon:Math będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie Szablon:Math będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania Szablon:Math i Szablon:Math są prawdziwe). Tabelka przedstawiająca wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania Szablon:Math i Szablon:Math będzie wyglądać tak:
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
|---|---|---|
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie Szablon:Math „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie Szablon:Math „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania Szablon:Math wynosi Szablon:Math, czyli Szablon:Math. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście prawdziwe.
Negacja
Szablon:Indeksuj Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie Szablon:Math. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczymy przez Szablon:Math. Negację zdania Szablon:Math przedstawiamy jako (w zapisie odręcznym: ∼p). Jeśli zdanie Szablon:Math jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie Szablon:Math jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie Szablon:Math jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie Szablon:Math jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.
Implikacja
Szablon:Indeksuj Oznaczmy Szablon:Math jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:
- zdania Szablon:Math: „Będziesz grzeczny”
- zdania Szablon:Math: „Dostaniesz czekoladę”
Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika , a w tym przypadku przez . Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie Szablon:Math będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu Szablon:Math mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło Szablon:Math, a o Szablon:Math, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło Szablon:Math. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
|---|---|---|
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:
- Szablon:Math: „pies ma osiem łap”,
- Szablon:Math: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.
Wiemy, że pierwsze Szablon:Math jest fałszywe, a zdanie Szablon:Math jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania Szablon:Math wynosi Szablon:Math. Otrzymana wartość logiczna tego zdania wynosi Szablon:Math. Jest to podobna sytuacja do tej, w której syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.
Wartość logiczną zdania można najprościej zapisać jako .
Równoważność
Szablon:Indeksuj Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez . Tabela równoważności będzie wyglądać tak:
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
|---|---|---|
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
| Szablon:Math | Szablon:Math | Szablon:Math |
Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania Szablon:Math i Szablon:Math:
- Szablon:Math: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
- Szablon:Math: „pies ma osiem łap”
Wartość logiczna zdania Szablon:Math wynosi Szablon:Math, a Szablon:Math wynosi Szablon:Math. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi Szablon:Math. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby Szablon:Math.
Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.