Matematyka dla liceum/Logika/Kwantyfikatory

Szablon:Indeksuj Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy Szablon:Math” możemy zapisać krócej ${\mathrm{\forall }}_{x\in ℝ}{x}^2\ge 0$. Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od Szablon:Math”, możemy zapisać ${\mathrm{\forall }}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\mathbb{+}}}{n}^3>0$ (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez ${\mathbb{Z}}_{\mathbb{+}})$. Zdanie to przeczytamy „dla każdego Szablon:Math należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od Szablon:Math”. Podamy teraz formalną definicję.

Powróćmy teraz do pytania przedstawionego w poprzednim podrozdziale: jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszystkich psów oznaczymy przez Szablon:Math, a liczbę łap psa Szablon:Math oznaczymy przez $\zeta (p)$, wówczas możemy napisać:

${\mathrm{\forall }}_{p\in \mathbb{Z}\mathbb{P}}\zeta (p)=4$.

Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa Szablon:Math należącego do zbioru wszystkich psów Szablon:Math liczba łap $\zeta (p)$ wynosi Szablon:Math” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”.

Czasami dane zdanie nie spełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi Szablon:Math. Jest to tylko jedna liczba -- samo Szablon:Math. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi Szablon:Math” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: ${\mathrm{\exists }}_{x\in ℝ}{x}^2=0$. Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba Szablon:Math należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi Szablon:Math”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako $\mathrm{\exists })$ nazywany jest kwantyfikatorem szczegółowym.

Innymi przykładami do których można zastosować kwantyfikator szczegółowy mogą być zdania:

• Istnieje liczba rzeczywista, która jest mniejsza od 10.
• Istnieje liczba całkowita, dodatnia, która jest podzielna przez 5.
• Istnieje liczba rzeczywista większa od 0.

A jak można napisać, że „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako Szablon:Math i zdanie Szablon:Math, jako zdanie mówiące, że człowiek Szablon:Math umie liczyć. Teraz możemy napisać:

${\mathrm{\exists }}_{l\in L}\mathrm{\neg }q(l)$,

co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element Szablon:Math należący do zbioru Szablon:Math, że zdanie Szablon:Math, nie jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek Szablon:Math należący do zbioru wszystkich ludzi Szablon:Math, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.

Szablon:Nawigacja