Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Przedziały liczbowe

Szablon:Indeksuj Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

• Przykład 1. $<-4;7>$ - przedział domknięty
• Przykład 2. $(-4;7)$ - przedział otwarty
• Przykład 3. $(-4;7>$ - przedział lewostronnie otwarty
• Przykład 4. $(-4;+\mathrm{\infty })$ - przedział nieograniczony
• Przykład 5. $(-\mathrm{\infty };5)$

Przedział domknięty

Szablon:Indeksuj W podręczniku używany jest zapis $<a;b>$ oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: $⟨a;b⟩$. Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

• Przykład 1. Pisząc $<-4;7>$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy $<-50;-20>$, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc $<a;b>$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:

Przedział liczbowy $<-4;7>$ zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Plik:Przedział ((-4;7)).png

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwarty

• Przykład 2. Za pomocą $(-4;7)$ oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale $(a;b)$ znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.

Przedział otwarty $(-4;7)$ na osi zaznaczymy w ten sposób:

Plik:Przedział (-4;7).png

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwarty

• Przykład 3. $(-4;7>$ oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:

Przedział $(-4;7>$ na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Plik:Przedział (-4;7)).png

Szablon:Indeksuj Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

Przedziały nieograniczone

Szablon:Indeksuj Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- $\mathrm{\infty }$.

• Przykład 4. Przez $(-4;+\mathrm{\infty })$ oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od $+\mathrm{\infty })$. Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez $<-4;+\mathrm{\infty })$.

Przedział $<-4;+\mathrm{\infty })$ możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Plik:Przedział ((-4;+oo).png

• Przykład 5. $(-\mathrm{\infty };5>$ oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez $(-\mathrm{\infty };5)$ będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.

Przedział $(-\mathrm{\infty };5)$ analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

Plik:Przedział (-oo;5).png

Działania na przedziałach

Szablon:Indeksuj Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.

• Przykład 6

Wyznaczmy $A\cup B$, $A\cap B$, $A\mathrm{\setminus }B$, $B\mathrm{\setminus }A$, $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$, gdzie $A=<-2;3)$, a $B=(1;4)$

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Plik:Przedział A=((-2;3) i B=(1;4).png

Z rysunku widzimy, że:

• $A\cup B=<-2;4)$
• $A\cap B=(1;3)$
• $A\mathrm{\setminus }B=<-2;1)$
• $B\mathrm{\setminus }A=(3;4)$
• $A^{\prime }=(-\mathrm{\infty };-2)\cup <3;+\mathrm{\infty })$
• $B^{\prime }=(-\mathrm{\infty };1>\cup <4;+\mathrm{\infty })$

Szablon:Nawigacja