Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Okrąg i koło

Wprowadzamy następującą definicję okręgu:

Okrąg to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a wartość R promieniem okręgu.

Analogicznie wprowadzamy definicję koła:

Koło to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R, lub jest mniejsza od R. Punkt S nazywamy środkiem koła, a wartość R promieniem koła.

Okrąg i koło można przedstawić w układzie współrzędnych jako rozwiązanie równania (okrąg) lub nierówności (koło). Spróbujmy wyznaczyć równanie okręgu. Niech punkt $S=(x_s,y_s)$ będzie środkiem okręgu, a $r>0$ jego promieniem. Zgodnie z definicją okrąg to zbiór punktów odległych od $S$ o $r$, zatem dla przykładowego punktu $P=(x,y)$ możemy zdefiniować wektor $\overrightarrow{SP}=[x-x_s,y-y_s]$, którego długość będzie równa $r$. Czyli:

$\sqrt{(x-x_s{)}^2+(y-y_s{)}^2}=r$,

ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy podnieść je równoważnie do kwadratu:

$(x-x_s{)}^2+(y-y_s{)}^2=r^2$,

otrzymując równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Wykonajmy podane działania:

$x^2-2x_s\cdot x+{x_s}^2+y^2-2y_s\cdot y+{y_s}^2=r^2$

Teraz podstawmy:

$a=-2\ast x_s,b=-2\ast y_s,c={x_s}^2+{y_s}^2-r^2$

i otrzymujemy:

$x^2+y^2+ax+by+c=0$

czyli równanie okręgu w postaci zredukowanej.

Szablon:Nawigacja