Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań logarytmicznych

Rozwiązywanie równań logarytmicznych

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

1. Ustalić dziedzinę
2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
   • ${\log }_{n}b=x⟺b=n^x$ np. ${\log }_{\frac{1}{2}}(3-x)=2⟺3-x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$
   • Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. ${\log }_3(x+3)={\log }_3(x^2+1)⟺x+3=x^2+1$, ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
3. Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie ${\log }_{2}x=5$.

1. Ustalamy dziedzinę: $x\in {ℝ}_{+}$
2. Własność ${\log }_{n}b=x⟺b=n^x$ sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy

   ${\log }_{2}x=5⟺x=2^5=32$

3. Odp. $x=32$

Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie ${\log }_3(4-\frac{1}{5}x)=2$. Możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $4-\frac{1}{5}x>0⟺-\frac{1}{5}x>-4⟺x<20$

   Zatem mamy równanie ${\log }_3(4-\frac{1}{5}x)=2,D=(-\mathrm{\infty };20)$

2. Z własności ${\log }_{n}b=x⟺b=n^x$ i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:

   ${\log }_3(4-\frac{1}{5}x)=2⟺4-\frac{1}{5}x=3^2$

   $-\frac{1}{5}x=5$

   $x=-25,\in D$

3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie ${\log }_5{x}^2=3$.

1. Ustalamy dziedzinę:

   Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że $x^2>0⟺x\ne 0$. Zatem $D=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$.

2. ${\log }_5{x}^2=3⟺x^2=5^3=125$
3. I znajdujemy pierwiastki równania:

   $x^2-125=0$

   $(x-5\sqrt{5})(x+5\sqrt{5})=0$

   czyli $x_1=5\sqrt{5}\in D$ i $x_2=-5\sqrt{5}\in D$

4. Odp. $x\in \{-5\sqrt{5};5\sqrt{5}\}$

Przykład 4

Rozwiążmy równanie ${\log }_2^{2}x-10{\log }_{2}x+16=0$. (Pamiętamy, że ${\log }_2^{2}x=({\log }_{2}x{)}^2$, a nie ${\log }_2(x^2)$.)

1. Ustalamy dziedzinę: $D={ℝ}_{+}$
2. Podstawiamy zmienną pomocniczą $t={\log }_{2}x$ do równania ${\log }_2^{2}x-10{\log }_{2}x+16$ i otrzymujemy:

   $t^2-10t+16$

3. $\mathrm{\Delta }=10^2-4\cdot 16=36$, $\sqrt{\mathrm{\Delta }}=6$.
4. $t_1=\frac{10-6}{2}=2$, $t_2=\frac{10+6}{2}=8$
5. Ponieważ $t={\log }_{2}x$, więc:

   ${\log }_{2}x=t_1=2$

   $x=2^2=4\in D$

   lub ${\log }_{2}x=t_2=8$

   $x=2^8=256\in D$

6. Odp. $x\in \{4;256\}$

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie ${\log }_{2}x-{\log }_{4}x=3$.

1. Ustalamy dziedzinę: $D={ℝ}_{+}$
2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$. ${\log }_{4}x$ możemy zapisać jako $\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_{2}x}{2}$. Zatem nasze równanie przybierze postać:

   ${\log }_{2}x-\frac{{\log }_{2}x}{2}=3$

   $\frac{{\log }_{2}x}{2}=3$

   Obustronnie mnożymy przez 2:

   ${\log }_{2}x=6$

   $x=2^6=64$

3. Odp. $x=64$

Przykład 6

Rozwiążmy równanie $2{\log }_3(x-3)-{\log }_{\frac{1}{9}}(x-3)=5$

1. Ustalamy dziedzinę: $D=(3;+\mathrm{\infty })$
2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:

   $2{\log }_3(x-3)-\frac{{\log }_3(x-3)}{{\log }_3\frac{1}{9}}=5$

   $2{\log }_3(x-3)-\frac{{\log }_3(x-3)}{-2}=5$

   $\frac{5}{2}{\log }_3(x-3)=5$

3. Teraz obustronnie dzielimy przez $\frac{5}{2}$ i mamy:

   ${\log }_3(x-3)=2$

4. $x-3=3^2=9⟹x=12$
5. Odp. $x=12$

Przykład 7

Rozwiążmy równanie $2{\log }_{x-3}3=2$.

1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów $(0;1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$:

   $x-3\in (0;1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$

   czyli $D=(3;4)\cup (4;+\mathrm{\infty })$

2. Skorzystamy z własności $k{\log }_{a}x={\log }_a{x}^k$:

   $2{\log }_{x-3}3=2⟺{\log }_{x-3}{3}^2=2$

   zatem ${\log }_{x-3}9=2$

3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:

   $9=(x-3{)}^2$

   $9=x^2-6x+9$

   $x(x-6)=0$

   Otrzymujemy: $x_1=0\in ̸D$ i $x_2=6\in D$

4. Odp. $x=6$

Szablon:Nawigacja