Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych

Rozwiązywanie równań wykładniczych

Przykładami równań wykładniczych mogą być: $3^x=27$
${\left(2\frac{1}{5}\right)}^{x-2}=15$
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2}$
$2^{2x}-5\cdot 2^x-10=0$

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

1. Ustalamy dziedzinę.
2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
3. Rozwiązujemy równanie.
4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
5. Podajemy odpowiedź.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3}$, możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

   ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},D=ℝ$

2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:
3. $\begin{array}{cc}(4^{-1}{)}^{\frac{1}{2}x-1}& =(4^2{)}^{x+3}\\ 4^{-\frac{1}{2}x+1}& =4^{2x+6}\end{array}$
4. Z równości potęg wynika równość wykładników:
5. $\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}x+1& =2x+6\\ -2\frac{1}{2}x& =5/:(-2\frac{1}{2})\\ x& =-2,\in D\end{array}$
6. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
7. Możemy sprawdzić rozwiązanie:
8. $L={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}x-1}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}(-2)-1}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}=16$

   $P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16$

   Zatem $L=P$

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie $2^x+2^{7-x}=24$, możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
2. $2^x+2^{7-x}=24,D=ℝ$
3. $2^x+\frac{2^7}{2^x}=24$
4. Podstawiamy $2^x=t,t\in {ℝ}_{+}$
5. $t+\frac{128}{t}=24$ $/\cdot t$
6. $t^2-24t+128=0$
7. Otrzymujemy:
8. $t_1=8=2^3,\in {ℝ}_{+}$
9. $t_2=16=2^4,\in {ℝ}_{+}$
10. Ponieważ $2^x=t$:
11. $2^x=t_1$ lub $2^x=t_2$
12. $2^x=2^3$ lub $2^x=2^4$
13. $x=3$ lub $x=4$
14. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

Szablon:Indeksuj Przykładami nierówności wykładniczych są:

$2^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-x\frac{1}{2}}$

$3^{x^2-2}<3\sqrt{3}$

${\left(\frac{1}{9}\right)}^x>3^{4-\frac{1}{2}x}$

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

1. Ustalić dziedzinę
2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:

   dla $a\in (1;+\mathrm{\infty })$

   $a^n>a^m⟺n>m$

   $a^n<a^m⟺n<m$

   analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

   W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.

   dla $a\in (0;1)$

   $a^n>a^m⟺n<m$

   $a^n<a^m⟺n>m$

   analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

   W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.

4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie $2^{2x-1}\ge 2^{3-x}$, możemy je przekształcić na równanie $2x-1\ge 3-x$, ponieważ $a=2\in (1;+\mathrm{\infty })$. Natomiast ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-1}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3-x}⟺2x-1<3-x$, ponieważ $a=\frac{1}{2}\in (0;1)$.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2x}{x+1}}$. W tym celu:

1. Ustalamy dziedzinę:

   ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2x}{x+1}},D=ℝ\mathrm{\setminus }\{-1\}$

2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:

   ${\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]}^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2x}{x+1}}$

   ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2x}{x+1}}$

3. Ponieważ $a=\frac{1}{2}$, wykorzystujemy prawo $a^n>a^m⟺n<m$:

   $2x<\frac{2x}{x+1}$

4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

   $2x-\frac{2x}{x+1}<0$

   $\frac{2x^2}{x+1}<0$

5. Z własności $\frac{a}{b}<0⟺ab<0$, wynika że:

   $2x^2(x+1)<0\Rightarrow x_1=0$, krotność 2 i $x_2=-1$ o krotności 1.

   Plik:Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png

6. Czyli $x\in (-\mathrm{\infty };-1)$

Szablon:Nawigacja