Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Przypomnienie działań na potęgach

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Przypomnienie działań na potęgach

Szablon:Indeksuj Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

• $a^1=a$
• $a^n=a{a}^{n-1}$
• $\begin{array}{cc}{a}^n=& \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}\\ & n\text{ razy}\end{array}$
• $a^0=1$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$
• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
• $a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}}{)}^m$
• $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$
• $a^p:a^q=a^{p-q}$
• $(a^p{)}^q=a^{pq}$
• ${(a\cdot b)}^p=a^p\cdot b^p$
• ${\left(\frac{a}{b}\right)}^p=\frac{a^p}{b^p}$

Kilka podstawowych przykładów

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a) $10\cdot 2^2+2^3+2^4$

Rozwiązanie:

$10\cdot 2^2+2^3+2^4=5\cdot 2\cdot 2^2+2^3+2^4=$

$=5\cdot 2^3+1\cdot 2^3+2^4=(5+1)\cdot 2^3+2^4=$

$=6\cdot 2^3+2^4=3\cdot 2^4+2^4=$

$=4\cdot 2^4=2^2\cdot 2^4=2^6$

b) $5^2\sqrt{125}-5^3+\frac{500}{\sqrt{5}-1}+3\cdot 5^3\sqrt{5}$

Rozwiązanie:

$5^2\sqrt{125}-5^3+\frac{500}{\sqrt{5}-1}+3\cdot 5^3\sqrt{5}=$

$=5^2\sqrt{5^3}-5^3+\frac{5^3\cdot 4}{\sqrt{5}-1}+3\cdot 5^3\sqrt{5}=$

$=5^3\sqrt{5}-5^3+\frac{5^3\cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}+3\cdot 5^3\sqrt{5}=$

$=5^3\sqrt{5}-5^3+\frac{5^3\cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4}+3\cdot 5^3\sqrt{5}=$

$=5^3\sqrt{5}-5^3+5^3\sqrt{5}+5^3+3\cdot 5^3\sqrt{5}=$

$=2\cdot 5^3\sqrt{5}+3\cdot 5^3\sqrt{5}=(2+3)\cdot 5^3\sqrt{5}=5^4\sqrt{5}=5^{\frac{9}{2}}$

Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a) $\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}}$

$\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}}=\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^7\cdot 2^{\frac{1}{2}}}}}}=\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{\frac{15}{2}}}}}}=$

$\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\cdot 2^{\frac{15}{4}}}}}=\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^{\frac{31}{4}}}}}=\sqrt{2^3\sqrt{2^5\cdot 2^{\frac{31}{8}}}}=$

$\sqrt{2^3\sqrt{2^{\frac{71}{8}}}}=\sqrt{2^3\cdot 2^{\frac{71}{16}}}=\sqrt{2^{\frac{119}{16}}}=2^{\frac{119}{32}}$

b) $\sqrt{9\cdot \sqrt[3]{9\cdot \sqrt[4]{9\cdot \sqrt[5]{9}}}}$

$\sqrt{9\cdot \sqrt[3]{9\cdot \sqrt[4]{9\cdot \sqrt[5]{9}}}}=\sqrt{9\cdot \sqrt[3]{9\cdot \sqrt[4]{9\cdot 9^{\frac{1}{5}}}}}=\sqrt{9\cdot \sqrt[3]{9\cdot \sqrt[4]{9^{\frac{6}{5}}}}}=$

$=\sqrt{9\cdot \sqrt[3]{9\cdot 9^{\frac{3}{10}}}}=\sqrt{9\cdot \sqrt[3]{9^{\frac{13}{10}}}}=\sqrt{9\cdot 9^{\frac{13}{30}}}=$

$=\sqrt{9^{\frac{43}{30}}}=9^{\frac{43}{60}}$

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a) $\frac{12}{\sqrt{7}-2}-4\sqrt{7}=8$

$L=\frac{12}{\sqrt{7}-2}-4\sqrt{7}=\frac{12-4\sqrt{7}(\sqrt{7}-2)}{\sqrt{7}-2}=\frac{12-28+2\cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}=$

$=\frac{8\sqrt{7}-16}{\sqrt{7}-2}=\frac{8(\sqrt{7}-2)}{\sqrt{7}-2}=8$

$P=8$

czyli $L=P$

b) $\frac{24}{\sqrt{10}-2}=4\sqrt{10}+8$

$L=\frac{24}{\sqrt{10}-2}=\frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)}=\frac{24(\sqrt{10}+2)}{6}=4(\sqrt{10}+2)=4\sqrt{10}+8$

$P=4\sqrt{10}+8$

zatem $L=P$

c) $\sqrt{31-12\sqrt{3}}-3\sqrt{4+2\sqrt{3}}=-5$

$L=\sqrt{27-12\sqrt{3}+4}-3\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}=\sqrt{(3\sqrt{3}-2{)}^2}-3\sqrt{(\sqrt{3}+1{)}^2}=$

$=|3\sqrt{3}-2|-3|\sqrt{3}+1|=(3\sqrt{3}-2)-3(\sqrt{3}+1)=3\sqrt{3}-2-3\sqrt{3}-3=-5$

$P=5$

$L=P$

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba $\sqrt{101-36\sqrt{5}}+\sqrt{29+12\sqrt{5}}$ jest wymierna:

$\sqrt{101-36\sqrt{5}}+\sqrt{29+12\sqrt{5}}=\sqrt{(2\sqrt{5}-9{)}^2}+\sqrt{(3+2\sqrt{5}{)}^2}=$

$=|2\sqrt{5}-9|+|3+2\sqrt{5}|=9-2\sqrt{5}+3+2\sqrt{5}=$

$=12\in \mathbb{Q}$

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba $\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{13-4\sqrt{3}}$ jest niewymierna:

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{13-4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+2{)}^2}+\sqrt{(1-2\sqrt{3}{)}^2}=$

$=|\sqrt{3}+2|+|1-2\sqrt{3}|=\sqrt{3}+2+2\sqrt{3}-1=$

$=3\sqrt{3}+1\in ̸\mathbb{Q}$

Szablon:Nawigacja