Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu

Logarytm

Pojęcie i własności logarytmu

Szablon:Indeksuj Szablon:Mat:Def Szablon:Indeksuj Własności logarytmu:

• $a^{{\log }_{a}b}=b$
• ${\log }_{a}1=0$
• ${\log }_{a}a=1$
• ${\log }_a(mn)={\log }_{a}m+{\log }_{a}n$
• ${\log }_a\frac{m}{n}={\log }_{a}m-lo{g}_{a}n$
• ${\log }_a{n}^b=b{\log }_{a}n$
• ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$
• $a>1\wedge {\log }_{a}b>{\log }_{a}c⟺b>c$
• $a<1\wedge {\log }_{a}b>{\log }_{a}c⟺b<c$
• warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą

Przykłady

${\log }_{10}100=2$

${\log }_{10}10000=4$

$100<10002<4$

${\log }_{0.1}0.01=2$

${\log }_{0.1}0.0001=4$

$0.01>0.0012<4$

${\log }_{10}0.1=-1$

${\log }_{10}0.01=-2$

$0.1>0.01-1>-2$

Logarytm naturalny i dziesiętny

Szablon:Indeksuj W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, $e$ oraz 10, stąd zapis:

• ${\log }_{10}a=\log a$ - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
• ${\log }_{e}a=\ln a$ - logarytm naturalny (którego podstawa $e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=2.71828...$)
• ${\log }_{2}a=\lg a$

Przybliżenia

Szablon:Indeksuj W obliczeniach chemicznych często przybliża się:

• ${\log }_{10}2\approx 0.3$

Szablon:Nawigacja