Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja potęgowa i jej własności

Funkcja potęgowa

Dziedzina funkcji potęgowej:

1. Jeśli $p\in {\mathbb{N}}_{+}$, to $D_f=ℝ$
2. Jeśli $p\in ℂ$, to $D_f=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$
3. Jeśli $p\in 𝕎$:
   • dla $p>0$, to $D_f={ℝ}_{+}\cup \{0\}$
   • dla $p<0$, to $D_f={ℝ}_{+}$

Wykres

O wykładniku równym zero

Plik:Funpot-wykr0.png

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że $D=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$. Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia $0^0$ jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystym

Plik:Funpot-wykr1.png

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

1. $D_f=ℝ$
2. $Z{W}_f={ℝ}_{+}\cup \{0\}$
3. Miejsce zerowe funkcji: $x_0=0$
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0⟺x\in ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0⟺x\in \varnothing$, funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
6. Ekstrema:

   Minimum: dla $x=0$ $f(x)=0$

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x\in (0,+\mathrm{\infty })$

   Maleje dla $x\in (-\mathrm{\infty },0)$

8. Funkcja nie jest różnowartościowa
9. Funkcja jest parzysta
10. Funkcja nie jest nieparzysta

O wykładniku dodatnim nieparzystym

Plik:Funpot-wykr2.png

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

1. $D_f=ℝ$
2. $Z{W}_f=ℝ$
3. Miejsce zerowe funkcji: $x_0=0$
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0⟺x\in {ℝ}_{+}\mathrm{\setminus }\{0\}$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0⟺x\in {ℝ}_{-}\mathrm{\setminus }\{0\}$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x\in ℝ$

8. Funkcja jest różnowartościowa
9. Funkcja nie jest parzysta
10. Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystym

Plik:Funpot-wykr3.png

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

$y>1⟺x\in (-1;0)\cup (0;1)$

Własności:

1. $D_f=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$
2. $Z{W}_f={ℝ}_{+}$
3. Miejsce zerowe funkcji: brak
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0⟺x\in D_f$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0⟺x\in \varnothing$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Rośnie dla $x\in (-\mathrm{\infty };0)$

   Maleje dla $x\in (0;+\mathrm{\infty })$

8. Funkcja nie jest różnowartościowa
9. Funkcja jest parzysta
10. Funkcja nie jest nieparzysta
11. Asymptoty: $x=0$ i $y=0$

O wykładniku ujemnym nieparzystym

Plik:Funpot-wykr4.png

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

$y>1⟺x\in (0;1)$

Własności:

1. $D_f=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$
2. $Z{W}_f=ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$
3. Miejsce zerowe funkcji: brak
4. Wartości dodatnie: $f(x)>0⟺x\in (0;+\mathrm{\infty })$
5. Wartości ujemne: $f(x)<0⟺x\in (-\mathrm{\infty };0)$
6. Ekstrema:

   Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

   Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

   Maleje w przedziale $x\in (-\mathrm{\infty };0)$ i przedziale $x\in (0;+\mathrm{\infty })$

8. Funkcja jest różnowartościowa
9. Funkcja nie jest parzysta
10. Funkcja jest nieparzysta
11. Asymptoty: $x=0$ i $y=0$

Szablon:Nawigacja