Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Układ równań z trzema niewiadomymi

Układ równań z trzema niewiadomymi

Kilka przykładów pomoże nam zrozumieć, jak rozwiązywać takie układy.

Przykład 1.

$\{\begin{array}{cc}2x-2y-2z=-2& (1)\\ 5x+2y+3z=8& (2)\\ -x+3y+4z=4& (3)\end{array}$

Takie układy równań możemy rozwiązać na wiele sposobów. Jednym ze sposobów jest wyznaczenie np. z któregoś równania Szablon:Math i podstawianie wyznaczonego Szablon:Math do pozostałych równań otrzymując układ równań drugiego stopnia. Na przykład z równania Szablon:Math otrzymujemy:

$\begin{array}{cc}2x-2y-2z& =-2\\ 2x& =-2+2y+2z/:2\\ x& =y+z-1\end{array}$

Teraz wyznaczony x podstawiamy do Szablon:Math:

$5x+2y+3z=5(y+z-1)+2y+3z=7y+8z-5$ i to ma być równe Szablon:Math.

Podobnie podstawiamy do Szablon:Math:

$-x+3y+4z=-(y+z-1)+3y+4z=2y+3z+1$, a to z kolei ma być równe Szablon:Math.

Łącząc otrzymane dwa równania, otrzymujemy układ równań z dwoma niewiadomymi.

$\{\begin{array}{c}7y+8z-5=8\\ 2y+3z+1=4\end{array}$

Pozostaje nam tylko rozwiązać ten układ.

$\{\begin{array}{c}7y+8z-5=8\\ 2y+3z+1=4\end{array}⟺\{\begin{array}{c}7y+8z=13\\ 2y+3z=3\end{array}$

Teraz możemy równanie górne obustronnie wymnożyć przez Szablon:Math, a dolne przez Szablon:Math i otrzymamy:

$\{\begin{array}{c}14y+16z=26\\ 14y+21z=21\end{array}$

Odejmując te równania od siebie otrzymamy:

$\begin{array}{cc}(14-14)y+(16-21)z& =26-21\\ -5z& =5\\ z& =-1\end{array}$

Ponieważ $2y+3z=3$, więc $y=\frac{3-3z}{2}=\frac{3-3\cdot (-1)}{2}=3$. Czyli wiemy już, że $y=3$ i $z=-1$ . Ponadto pamiętamy, że $x=y+z-1$, więc $x=3-1-1=1$.

Odp. $(x;y;z)=(1;3;-1)$.

Szablon:Nawigacja