Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania kwadratowe

Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

$a {(x - p)}^{2} + q = 0$

$a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a} : a$

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}}$

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni ( $4 a^{2} > 0$ ). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:

1. Gdy

Δ < 0

, to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).

2. Gdy

Δ = 0

, wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0

/ Pierwiastkujemy obustronnie

x = \frac{- b}{2 a}

Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to druga współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (ponieważ by parabola miała jedno miejsce wspólne z osią OX to wierzchołek musi leżeć na tejże osi OX).

3. Gdy

Δ > 0

, otrzymujemy:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{Δ}{4 a^{2}}

/ Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z

\sqrt{x^{2}} = | x |

| x + \frac{b}{2 a} | = \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}

Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:

Przypadek 1: dla

x + \frac{b}{2 a} > 0

- opuszczamy moduł bez zmiany znaku.

x_{1} + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}

x_{1} = \frac{\sqrt{Δ}}{2 a} - \frac{b}{2 a}

x_{1} = \frac{\sqrt{Δ} - b}{2 a} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

Przypadek 2: dla

x + \frac{b}{2 a} < 0

- opuszczamy moduł ze zmianą znaku:

- x_{2} - \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = - \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

więc, dla

Δ > 0

rozwiązaniami są

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

oraz

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

.

Równania kwadratowe - w skrócie

Wzory na miejsca zerowe

dla $Δ > 0$ 2 miejsca zerowe: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ ,
dla $Δ = 0$ 1 miejsce zerowe: $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ ,
dla $Δ < 0$ miejsca zerowe nie istnieją.

Metoda wyłączania wspólnego czynnika

równanie postaci np. $x^{2} + x = 0$
przekształcamy do $x (x + 1) = 0$ , po czym rozwiązujemy: x=0 oraz (x+1) = 0.

Wzory skróconego mnożenia

np. $x^{2} + 6 x + 9 = 0 \to (x + 3)^{2} = 0$
np. $x^{2} - 9 = 0 \to (x + 3) (x - 3) = 0$

Równanie dwukwadratowe

równanie postaci $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ rozwiązujemy metodą podstawiania,
przy założeniu $t = x^{2}$ rozwiązujemy $a t^{2} + b t + c = 0$ ,
uzyskane pierwiastki $t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}$ , które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Przykłady - równania kwadratowe

Szablon:Indeksuj Rozwiąż równania:

Przykład 1. $x^{2} - 3 x - 4 = 0$
Przykład 2. $x^{2} - 4 = 0$
Przykład 3. $x^{2} - 6 x + 9 = 0$
Przykład 4. $x^{2} - 2 x = 3 x + 5$
Przykład 5. $- x^{2} - 2 x = 0$
Przykład 6. $x^{2} - 5 x + 22 = 0$
Przykład 7. $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ (równanie dwukwadratowe)
Przykład 8. $x^{2} + 6 x - 7 = 0$
Przykład 9. $x^{2} - 4 | x | - 12 = 0$ (równanie z modułem)

Przykład 1

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą: $a = 1, b = - 3, c = - 4$ .

$Δ = b^{2} - 4 a c$

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)$

$Δ = 25$

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{- (- 3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$

$x_{1} = \frac{3 - 5}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- (- 3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$

$x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Równanie ma więc dwa rozwiązania: $x_{1} = - 1$ i $x_{2} = 4$ .

Przykład 2

$x^{2} - 4 = 0$

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie $a = 1, b = 0, c = - 4$ . Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)$

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian $x^{2} - 4 = 0$ na postać iloczynową:

$(x - 2) \cdot (x + 2) = 0$

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są: 2 oraz -2.

Przykład 3

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

$a = 1, b = - 6, c = 9$

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9$

$Δ = 36 - 36 = 0$

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

$x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

$x_{0} = \frac{- (- 6)}{2} = 3$

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Przyrównujemy w myślach $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ i $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ...
$(x - 3)^{2} = x^{2} - 2 * 1 * 3 + 3^{2}$

Otrzymujemy:

$(x - 3)^{2} = 0$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).

Przykład 4

$x^{2} - 2 x = 3 x + 5$

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

$x^{2} - 5 x - 5 = 0$

$a = 1, b = - 5, c = - 5$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 45$

$x_{1} = \frac{- (- 5) - \sqrt{45}}{2}$

$x_{1} = \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \sqrt{5}$

$x_{2} = \frac{- (- 5) + \sqrt{45}}{2}$

$x_{2} = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5}$

Rozwiązaniami tego równania są liczby $x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \sqrt{5}, x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5}$

Przykład 5

$- x^{2} - 2 x = 0$

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

$(- x^{2} - 2 x) = 0$

$x (- x - 2) = 0$

Powyższe równanie zachodzi gdy:
$x = 0$ lub $- x - 2 = 0$

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.

Przykład 6

$x^{2} - 5 x + 22 = 0$

Policzmy deltę:

$a = 1, b = - 5, c = 22$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 22$

$Δ = 25 - 88 = - 63$

Wystarczy zauważyć, że $Δ < 0$ - równanie nie ma więc rozwiązań.

Przykład 7

$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

$t = x^{2}$

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

$t^{2} - 3 t - 4 = 0$

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki $t_{1}$ oraz $t_{2}$ .

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 25$

$t_{1} = \frac{- (- 3) - \sqrt{25}}{2} = - 1$

$t_{2} = \frac{- (- 3) + \sqrt{25}}{2} = 4$

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

$t = x^{2}$

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

$- 1 = x^{2}$

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

$x^{2} + 1 = 0$

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ $Δ < 0$ Zauważmy, że samo równanie $- 1 = x^{2}$ jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

$4 = x^{2}$

$x^{2} - 4 = 0$

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy $(x - 2) (x + 2) = 0$

Równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 2$ i $x_{2} = - 2$ (patrz na przykład nr 2).

Po obliczeniu pierwiastków $x_{1}$ i $x_{2}$ dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia $t = x^{2}$ można dodać warunek $t \geq 0$ . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.

Przykład 8 (R)

Szablon:MDL:Rozszerzony

$x^{2} + 6 x - 7 = 0$

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób. Mianowicie -

Gdybyśmy chcieli to równanie "zwinąć" zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia (nie patrząc na wyraz wolny), to widać, że wyszłoby wyrażenie: $(x + 3)^{2}$ Co teraz zrobić, aby równość zaszła? Wystarczy, że odejmiemy " $b^{2}$ , czyli w tym przypadku 9,do tego odejmujemy jeszcze nasze "prawdziwe" 7.

Teraz po kolei liczymy:

$(x + 3)^{2} - 16 = 0$

$(x + 3)^{2} = 16$ / Pierwiastkujemy obustronnie

$\sqrt{(x + 3)^{2}} = \sqrt{16}$

$\sqrt{(x + 3)^{2}} = 4$

Korzystamy z własności: $\sqrt{x^{2}} = | x |$ , po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

Szablon:Infobox

$| x + 3 | = 4$

$x_{1} = - 7, x_{2} = 1$

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)

Przykład 9 (R)

Szablon:MDL:Rozszerzony

$x^{2} - 4 | x | - 12 = 0$

Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy $x \geq 0$ i drugi, gdy $x < 0$ .

1 przypadek dla $x \geq 0$

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

x^{2} - 4 x - 12 = 0

Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem

x \geq 0

.

Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 64

x_{1} = \frac{- (- 4) - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = - 2

x_{2} = \frac{- (- 4) + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6

Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia $x \geq 0$ , więc nie jest rozwiązaniem.

2 przypadek: dla $x < 0$

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.

x^{2} + 4 x - 12 = 0

Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 64

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{- 4 - 8}{2} = - 6

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{- 4 + 8}{2} = 2

Teraz

x_{2}

nie spełnia naszego założenia

x < 0

, odrzucamy go więc.

Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 6$ i $x_{2} = - 6$ .

Szablon:Nawigacja

Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania kwadratowe

Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego

Równania kwadratowe - w skrócie

Przykłady - równania kwadratowe

Menu nawigacyjne

Szukaj