Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Postać iloczynowa

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Dowód (informacje dodatkowe)

Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:

$a(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}=0$

Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.

$a[(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}]=0$

Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:

$a[(x+\frac{b}{2a}{)}^2-(\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}{)}^2]=0$

I stosujemy wzór $a^2-b^2$ = (a-b)(a+b)

$a(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})$

$a(x+\frac{b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})(x+\frac{b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})$

$a(x+\frac{-(-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }})}{2a})(x+\frac{-(-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }})}{2a})$

$a(x-\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})$

Gdy $\mathrm{\Delta }<0$ to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.

Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:

$y=2(x-3)(x+4)$

$y=(x-9)(x+4)$

$y=(x-3{)}^2$

Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem - widać na niej od razu rozwiązania trójmianu.

Przykłady - postać iloczynowa

• Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0

Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.

• Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:$x^2+4x-5=0$

Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.

$\mathrm{\Delta }=4^2-4\cdot 1\cdot (-5)=36$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=6$

$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5$

$x_2=\frac{-4+6}{2}=1$

$\mathrm{\Delta }>0$ więc korzystamy ze wzoru: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$. Widzimy, że a = 1.

$1\cdot (x-(-5))(x-1)=0$

$(x+5)(x-1)=0$

• Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:$2x^2-4x+2=0$

Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.

$\mathrm{\Delta }=(-4{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=0$

$x_0=\frac{4}{4}=1$

$\mathrm{\Delta }=0$ - korzystamy więc ze wzoru: $y=a(x-x_0{)}^2$. a jest równe 2.

$2(x-1{)}^2=0$

• Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.

Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.

$(x-(-3))(x-7)=0$

$(x+3)(x-7)=0$

Możemy już taką postać pozostawić, jednak wymnóżmy wartości w nawiasach przez siebie i stwórzmy w ten sposób trójmian kwadratowy:

$x^2-7x+3x-21=0$

$x^2-4x-21=0$

W ten sposób ułożyliśmy równanie, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7. Można to sprawdzić poprzez policzenie delty i pierwiastków (sprawdź!).