Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Podsumowanie

Podsumowanie

• $f(x)=a{x}^2+bx+c,x\in ℝ-$ funkcja kwadratowa w postaci ogólnej. Dodatkowo $a\ne 0$.

• $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$    - Delta (inaczej: wyróżnik kwadratowy)

• Parabola     - nazwa wykresu funkcji kwadratowej (przypomina 'wzniesienie' lub też 'dolinę')
  • Dla a > 0 ramiona paraboli są skierowane ku górze.
  • Dla a < 0 ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.
  • (Dla a = 0 funkcja jest funkcją liniową)

• Wierzchołek paraboli - ma współrzędne (x_w, y_w) lub (p, q):

$p=\frac{-b}{2a}$   oraz   $q=\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a}$  (p, q to odpowiednio x, y wierzchołka).

wierzchołek jest miejscem, gdzie funkcja osiąga ekstremum (minimum lub maksimum, w zależności, jak są skierowane ramiona).

• Miejsca zerowe (pierwiastki) - ich ilość zależy od wartości delty $\mathrm{\Delta }$:
  • Dla $\mathrm{\Delta }>0$  są 2 miejsca zerowe równe $x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$
  • Dla $\mathrm{\Delta }=0$  jest 1 miejsce zerowe, powyższe wzory sprowadzają się do $x_0=\frac{-b}{2a}$
  • Dla $\mathrm{\Delta }<0$  nie ma miejsc zerowych

• Postać iloczynowa - zawiera w swoim zapisie wartości pierwiastków, w zależności od delty $\mathrm{\Delta }$:
  • Dla $\mathrm{\Delta }>0$  postać z dwoma pierwiastkami  $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
  • Dla $\mathrm{\Delta }=0$  powyższy wzór można zapisać jako  $y=a(x-x_0{)}^2$
  • Dla $\mathrm{\Delta }<0$  nie istnieje postać iloczynowa

• Postać kanoniczna - zawiera w swoim zapisie wartości współrzędnych wierzchołka paraboli:

$y=a(x-p{)}^2+q\text{czyli}y=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$

zapis ten pomaga w narysowaniu wykresu funkcji - wystarczy wykres  $y=a{x}^2$  przesunąć o wektor  $[p,q]$.

Rozszerzone

• Wzory Viete'a

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}{x}_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Dodatkowe

• Współczynnik c to miejsce przecięcia się funkcji z osią OY.

• Wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie odległości pomiędzy miejscami zerowymi, x₁ i x₂.

Szablon:Nawigacja