Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Nierówności kwadratowe

W poprzednim rozdziale opisane zostały sposoby rozwiązywania równań kwadratowych. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób.

Znalezienie rozwiązania nierówności polega na

• obliczeniu miejsc zerowych,
• narysowaniu szkicu wykresu funkcji,
• wyznaczeniu przedziału, który spełnia nierówność, przy pomocy wykresu.

Dla nierówności dwukwadratowych

• rozwiązujemy nierówność ze zmienną pomocniczą (np. $t=x^2$),
• uzyskane rozwiązania dla t zamieniamy na nierówności i podstawiamy $x^2$. Rozwiązania otrzymanych nierówności są rozwiązaniem nierówności dwukwadratowej.
• np.   $t\in (4;5)\to t>4,t<5\to x^2>4,x^2<5$     i obliczamy.

Przykłady - nierówności kwadratowe

• Przykład 1. $x^2-2x-15>0$
• Przykład 2. $-x^2-4x+45\ge 0$
• Przykład 3. $x^2-5x+8<0$
• Przykład 4. $-x^2-6x-10<0$
• Przykład 5. $x^4-13x^2+36>0$
• Przykład 6. $x^2+4x-12<0$

---

• Przykład 1

$x^2-2x-15>0$

Jak przy równaniach liczymy deltę i miejsca zerowe:

$\mathrm{\Delta }=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$

$x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{64}}{2}=-3$

$x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{64}}{2}=5$

Teraz naszkicujmy prowizoryczny wykres wyrażenia po lewej stronie nierówności. Rysujemy parabole, wiemy o niej, że ramiona są skierowane w górę (a>0) oraz że przecina oś OX w 2 miejscach ($\mathrm{\Delta }>0$), wcześniej obliczonych:

Plik:Nierownosc1.jpg

Patrzymy na wykres i odczytujemy z niego, kiedy wykres funkcji znajdują się nad osią OX (rozwiązujemy bowiem nierówność f(x)>0), czyli kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Oczywiście wówczas gdy x jest mniejszy od -3 lub większy od 5 (na wykresie -tam, gdzie występuje znak "+"). Zapisujemy to więc:

$x\in (-\mathrm{\infty },-3)\cup (5,+\mathrm{\infty })$

W tym miejscu trzeba zwrócić uwagę na parę istotnych szczegółów:

-Nawiasy są "otwarte" ponieważ 0 nie należy do zbioru rozwiązań (f(-3)=0 nie spełnia nierówności f(x)>0),

-$\mathrm{\infty }$ - nawias po stronie tego oznaczenia jest zawsze otwarty,

-W równaniach rozwiązaniami były pojedyncze liczby. Tutaj rozwiązaniami jest ich cały zbiór.

---

• Przykład 2

$-x^2-4x+45\ge 0$

Podany przykład rozwiążemy podobnie jak poprzedni (według tego samego schematu).

$\mathrm{\Delta }=(-4{)}^2-4\cdot (-1)\cdot (45)=16+180=196$

$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{196}}{-2}=\frac{4-14}{-2}=5$

$x_2=\frac{-(-4)+\sqrt{196}}{-2}=\frac{4+14}{-2}=-9$

Robimy szkic (a<0 więc ramiona są skierowane w dół):

Plik:Nierownosc2.jpg

Widzimy, że wykres jest ponad osią OX w przedziale od -9 do 5. Rozwiązaniem jest więc:

$x\in <-9,5>$

Nawiasy są domknięte, ponieważ 0 należy do zbioru rozwiązań nierówności (f(-9)=0 spełnia nierówność $f(x)\ge 0$.

---

• Przykład 3

$x^2-5x+8<0$

$\mathrm{\Delta }=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 8=25-32=-7$

$\mathrm{\Delta }<0$ - czyli wykres nie ma punktów wspólnych z osią OX. Naszkicujmy wykres:

Plik:Wykres3.PNG

Parabola w całości znajduję się ponad osią OX. Stąd wniosek, że nierówność nigdy nie jest spełniona. Nie ma rozwiązań, więc:

$x\in \varnothing$

---

• Przykład 4

$-x^2-6x-10<0$

$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot (-1)\cdot (-10)=36-40=-4$

$\mathrm{\Delta }<0$ - znowu nie ma miejsc wspólnych z osią OX. Szkicujemy pomocniczy wykres (a < 0):

Plik:Wykres4.PNG

Wykres w całości znajduję się pod osią OX. Oznacza to, że nierówność jest spełniona zawsze.

$x\in R$

---

• Przykład 5 (R)

$x^4-13x^2+36>0$

Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.

$t=x^2;t\ge 0$

$t^2-13t+36>0$

$\mathrm{\Delta }=(-13{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=25$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=5$

$t_1=\frac{13-5}{2}=4$

$t_2=\frac{13+5}{2}=9$

Szkicujemy wykres funkcji $t^2-13t+36>0$ i zaznaczamy część dodatnią:

Plik:Wykres5.PNG

Rozwiązaniem jest:

$t\in (-\mathrm{\infty },4)\cup (9,+\mathrm{\infty })$

Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą t. Potrzeba nam jednak rozwiązać nierówność ze zmienną x. Zapiszmy powyższe rozwiązanie jako alternatywę dwóch nierówności (zamiast przedziałów):

$t<4$  lub  $t>9$

Podstawiamy  $t=x^2$  i rozwiązujemy dwie nierówności:

$x^2<4$  lub  $x^2>9$

1.   $x^2<4$

$(x-2)(x+2)<0$

$x\in (-2,2)$ (pomijamy rysowanie wykresu)

2.   $x^2>9$

$(x-3)(x+3)>0$

$x\in (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,+\mathrm{\infty })$ (także pomijamy rysowanie wykresu)

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań 1. i 2.:

$x\in (-\mathrm{\infty },-3)\cup (-2,2)\cup (3,+\mathrm{\infty })$

---

• Przykład 6 (R)

$x^2+4x-12<0$

Ten przykład rozwiążemy nieco innym sposobem niż poprzednie - bez szkicowania wykresu, za pomocą alternatywy układów. Zanim go jednak zaczniesz analizować, przeczytaj informacje o postaci iloczynowej, bowiem właśnie ten element wykorzystamy przy rozwiązaniu tej nierówności.

$\mathrm{\Delta }=4^2-4\cdot 1\cdot (-12)=64$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=8$

$x_1=\frac{-4-8}{2}=-6$

$x_2=\frac{-4+8}{2}=2$

Teraz zamieniamy nierówność na postać iloczynową:

$(x-(x_1))(x-x_2)<0$

$(x+6)(x-2)<0$

Całe wyrażenie jest ujemne gdy:

1. (x+6) jest dodatnie i (x-2) ujemne lub
2. (x+6) jest ujemne i (x-2) dodatnie
   

(iloczyn dowolnej liczby ujemnej, przez liczbę dodatnią jest zawsze ujemny, i na odwrót). Tworzymy w ten sposób alternatywę układów, która wygląda następująco:

$\{\begin{array}{c}x+6>0\\ x-2<0\end{array}$ lub $\{\begin{array}{c}x+6<0\\ x-2>0\end{array}$

czyli

$\{\begin{array}{c}x>-6\\ x<2\end{array}$ lub $\{\begin{array}{c}x<-6\\ x>2\end{array}$

Rozwiązaniem pierwszego układu jest $x\in (-6,2)$, natomiast drugi układ jest sprzeczny. Rozwiązaniem jest więc:

$x\in (-6,2)$

Możesz podane wyniki sprawdzić szkicując wykres.

Szablon:Nawigacja