Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu

Sumy częściowe

Szablon:Indeksuj Suma częściowa ciągu to inaczej suma kilku kolejnych wyrazów pewnego ciągu. Najprostszym przykładem może być $a_1+a_2$, czy też $a_2+a_4+a_6$ dla pewnego ciągu $(a_n)$.

Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ zdefiniowanego wzorem $a_n=2\cdot |n-3|$. Mamy $a_1=2\cdot |1-3|=2\cdot 2=4$, $a_2=2\cdot |2-3|=2$, $a_3=2\cdot |3-3|=0$, $a_4=2\cdot |4-3|=2$, czyli:

$a_1+a_2+a_3+a_4=4+2+0+2=8$

Podobnie policzmy sumę wyrazów $c_2+c_{10}+c_{30}+c_{51}+c_{1001}$ ciągu arytmetycznego $(c_n)$, gdzie $c_1=10$, a różnica ciągu wynosi -3. Jednak najpierw musimy policzyć ile wynoszą odpowiednie wyrazy. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

$c_2=10+(2-1)\cdot (-3)=7$

$c_{10}=10+(10-1)\cdot (-3)=-17$

$c_{30}=10+29\cdot (-3)=-77$

$c_{51}=10+50\cdot (-3)=-140$

$c_{1001}=10+1000\cdot (-3)=-2990$

Zatem suma $c_2+c_{10}+c_{30}+c_{51}+c_{1001}=7-17-77-140-2990=-3217$.

Sumę kolejnych n wyrazów pewnego ciągu, czyli $a_1+a_2+a_3+a_4+\dots +a_n$ z reguły oznaczamy jako $S_n$. Kilka przykładów ...:

$S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$

$S_3=a_1+a_2+a_3$

$S_{50}=a_1+a_2+a_3+a_4+\dots +a_{50}$

$S_1=a_1$

Używając tego oznaczenia możemy zapisać także sumę kolejnych, ale nie koniecznie początkowych wyrazów, na przykład:

$a_3+a_4+a_5=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_1+a_2)=S_5-S_2$

$a_5+a_6+a_7=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7)-(a_1+a_2+a_3+a_4)=S_7-S_4$

$a_{50}+a_{51}+a_{52}+\dots +a_{100}=(a_1+a_2+\dots +a_{49}+a_{50}+\dots +a_{100})-(a_1+a_2+\dots +a_{49})=S_{100}-S_{49}$

W ogólności suma $a_k+a_{k+1}+\dots +a_n=(a_1+a_2+\dots +a_{k-1}+a_k+a_n)-(a_1+a_2+\dots +a_{k-1})=S_n-S_{k-1}$.

Suma częściowa ciągu arytmetycznego

Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę $S_{10}=1+2+3+\dots +10$. Widzimy, że $n=10$ i ponadto $a_1=1$ i $a_{10}=10$. Zatem $S_{10}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{1+10}{2}\cdot 10=55$.

Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleźć wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie 1, czyli $a_1=1$, a n-tą liczbą jest $a_n=n$. Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:

$S_n=1+2+3+\dots +n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n(n+1)}{2}$,

być może już przez niektórych znany.

Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu $(t_n)$, gdzie $t_1=10$ i $r=4$. Wiemy, że $n=31$, ale nie znamy wartości $t_{31}$, dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$t_{31}=10+(31-1)\cdot 4=10+120=130$

Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:

$S_n=t_1+t_2+t_3+\dots +t_{31}=\frac{t_1+t_{31}}{2}\cdot 31=$

$=\frac{10+130}{2}\cdot 31=2170$.

Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie n, $a_1$ i r. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$. Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$

Po drobnym przekształceniach mamy:

Szablon:Wzór

Czy wzór $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.

Dowód:

Wiemy, że $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n$, a ponieważ $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym, więc $a_k=a_1+(k-1)\cdot r$. Z tych dwóch zależności wynika, że:

$S_n=a_1+a_2+\dots +a_n=[a_1+(1-1)\cdot r]+[a_1+(2-1)\cdot r]+\dots +[a_1+(n-1)\cdot r]$,

sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):

$S_n=[a_1+(n-1)\cdot r]+[a_1+(n-2)\cdot r]+\dots +[a_1+(2-1)\cdot r]+[a_1+(1-1)\cdot r]$

Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:

	$S_n$	$=$	$[a_1+(1-1)\cdot r]$	$+$	$[a_1+(2-1)\cdot r]$	$+$	$[a_1+(3-1)\cdot r]$	$+$	$\dots$	$+$	$[a_1+(n-1)\cdot r]$
$+$	$S_n$	$=$	$[a_1+(n-1)\cdot r]$	$+$	$[a_1+(n-2)\cdot r]$	$+$	$[a_1+(n-3)\cdot r]$	$+$	$\dots$	$+$	$[a_1+(n-n)\cdot r]$
	$2S_n$	$=$	$[2a_1+(n-1)\cdot r]$	$+$	$[2a_1+(n-1)\cdot r]$	$+$	$[2a_1+(n-1)\cdot r]$	$+$	$\dots$	$+$	$[2a_1+(n-1)\cdot r]$

Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:

$2S_n=[2a_1+(n-1)\cdot r]\cdot n$

Po podzieleniu przez dwa mamy:

$S_n=\frac{[2a_1+(n-1)\cdot r]\cdot n}{2}$

Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.

Suma częściowa ciągu geometrycznego

Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu dwójek, czyli $S_{100}=2+2+2+2+\dots +2$. Nie powinno to sprawić problemu osobie, która nie zna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc $S_{100}=100\cdot 2=200$, proste. Oczywiście możemy wykorzystać odpowiedni wzór. Ponieważ $q=1$, więc zastosujemy pierwszego wzór otrzymując $S_{100}=n\cdot a_1=100\cdot 2=200$.

Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu $(b_n)$, gdzie:

$b_1=11$,

$\frac{b_{k+1}}{b_k}=3\text{ dla }k\in {\mathbb{Z}}_{+}$.

Ponieważ $q=3$, więc wykorzystamy wzór dla $q\ne 1$:

$S_4=a_1\cdot \frac{1-q^4}{1-q}=11\cdot \frac{1-3^4}{1-3}=11\cdot \frac{-80}{-2}=440$.

Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę $S_n=1+2+4+8+\dots +64$. Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że $a_1=1$, ponadto $q=2$. Zastanówmy się, z ilu elementów składa się ta suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że $a_n=1\cdot 2^{n-1}$, a z sumy do policzenia, że $a_n=64$. Więc $a_n=2^{n-1}=64=2^6$, czyli $n-1=6⟹n=7$. Ponieważ $q=2\ne 1$, więc wykorzystamy wzór drugi:

$S_7=a_1\cdot \frac{1-q^7}{1-q}=1\cdot \frac{1-2^7}{1-2}=\frac{-127}{-1}=127$.

Obliczmy sumę 9 kolejnych wyrazów ciągu $(s_n)$ zdefiniowanego wzorem:

$s_k=11\cdot (-10{)}^{k-1}\text{ dla }k\in {\mathbb{Z}}_{+}$.

Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:

$a_k=a_1\cdot q^{k-1}\text{ dla }k\in {\mathbb{Z}}_{+}$

Zauważmy, że gdybyśmy jako $a_1$ podstawili 11, a jako q liczbę -10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg $(s_n)$. Zatem musi zachodzić $s_1=11$, a $q=-10$. Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ $q\ne 0$ mamy:

$S_9=11\cdot \frac{1-(-10{)}^9}{1-(-10)}=\frac{1-(-10{)}^9}{1}=(10{)}^9+1$

Pomyślmy teraz, ile wynosi suma 10 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

$c_k=2\cdot {(-\frac{1}{2})}^{2(k-1)}$

Ze wzoru możemy w łatwy sposób wyliczyć kilka pierwszych wyrazów:

$c_1=2\cdot {(-\frac{1}{2})}^{2\cdot 0}=2$

$c_2=2\cdot {(-\frac{1}{2})}^{2\cdot 1}=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

$c_3=2\cdot {(-\frac{1}{2})}^{2\cdot 2}=2\cdot \frac{1}{16}=\frac{1}{8}$

...

Zatem widzimy, że $c_1=2$, a $q=\frac{c_2}{c_1}=\frac{c_3}{c_2}=\dots =\frac{1}{4}$. Otrzymujemy:

$S_{10}=2\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)}=2\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}}{\frac{3}{4}}=2\cdot \frac{4}{3}\cdot (1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10})=\frac{8}{3}\cdot [1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}]$

Wyznaczmy wzór ogólny na sumę n kolejnych elementów ciągu $(d_n)$, w którym $d_1=3$ i $q=5$. Ponieważ $q\ne 1$ możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:

$S_n=d_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=3\cdot \frac{1-5^n}{1-5}=3\cdot \frac{(-1)\cdot (5^n-1)}{(-1)\cdot 4}=3\cdot \frac{5^n-1}{4}$.

Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.

Założenia:

$d_k=3\cdot 5^{k-1}$

$S_n=d_1+d_2+d_3+\dots +d_n=3+3\cdot 5^1+3\cdot 5^2+3\cdot 5^3+\dots +3\cdot 5^{(n-1)}$.

Teza:

$S_n=3\cdot \frac{5^n-1}{4}$

Dowód:

Sumę $S_n=3+3\cdot 5^1+3\cdot 5^2+3\cdot 5^3+\dots +3\cdot 5^{(n-1)}$ możemy wymnożyć przez $q=5$:

$5S_n=3\cdot 5^1+3\cdot 5^2+3\cdot 5^3+\dots +3\cdot 5^n$

Teraz odejmijmy od siebie obydwie sumy:

$S_n$

$=$

$3$

$+$

$3\cdot 5^1$

$+$

$3\cdot 5^2$

$+$

$3\cdot 5^3$

$+$

$\dots$

$+$

$3\cdot 5^{(n-1)}$

$-$

$5S_n$

$=$

$3\cdot 5^1$

$+$

$3\cdot 5^2$

$+$

$3\cdot 5^3$

$+$

$\dots$

$+$

$3\cdot 5^{(n-1)}$

$+$

$3\cdot 5^n$

$-4S_n$

$=$

$3$

$+$

$0$

$+$

$0$

$+$

$0$

$+$

$0$

$+$

$0$

$-$

$3\cdot 5^n$

Czyli $-4S_n=3-3\cdot 5^n=3(1-5^n)$, po podzieleniu przez -4 dochodzimy do:

$S_n=3\cdot \frac{1-5^n}{-4}=3\cdot \frac{5^n-1}{4}$,

a co chcieliśmy udowodnić.

Szablon:Nawigacja