Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Procent składany, oprocentowanie lokat i kredytów

Procent składany

Procent składany przydaje się do łatwego obliczenia wartość lokat po zadanej liczbie okresów kiedy naliczane jest oprocentowanie.

Ogólny wzór na procent składany ma postać:

$w_n=w_0{(1+\frac{p}{100\mathrm{\%}})}^n$,

gdzie

• $w_n$ - kwota końcowa
• $w_0$ - kwota wpłacona na początku
• p - oprocentowanie
• n - liczba okresów kiedy będą naliczane odsetki

Jeżeli konto ma kapitalizację roczną, to n równe jest ilości lat w których oszczędzamy. Jeśli kapitalizacja następuje trzy razy w roku (czyli co 4 miesiące), to procent musimy podzielić na trzy, a liczba kapitalizacji (n) w ciągu roku wynosi wtedy 3, w ciągu dwóch lat 6, a np. w ciągu 16 miesięcy n=4 (bo 4 razy występuje okres 4 miesięcy).

Przykład

Załóżmy, że mamy 5 000 zł i chcemy je oddać do banku, gdzie oprocentowanie roczne wynosi 4,52%. Bank nalicza odsetki co dwa miesiące. Jaki będzie stan konta po dwóch latach, zakładając że nie wpłacamy ani wypłacamy żadnych pieniędzy?

Zauważmy, że kapitalizacja następuje co dwa miesiące, więc w roku tych kapitalizacji będzie sześć. W ciągu dwóch lat liczba kapitalizacji wyniesie dwanaście. Oprócz tego oprocentowanie roczne, wynoszące 4,52% (9,04% w skali 2 lat) musimy podzielić przez liczbę kapitalizacji. W tym przypadku wynosi ono: 4,52% / 6 = 0,753%. Zgodnie ze wzorem:

$w_n=5000\cdot {(1+\frac{0,753}{100})}^{12}=5000\cdot {1,00753}^{12}=5000\cdot 1.09419=5470,98$