Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Inne przykłady ciągów

Przykłady ciągów

Ciąg harmoniczny

Jeśli ciąg harmoniczny oznaczymy jako $(h_n)$, to k-ty wyraz będzie określony wzorem:

$h_k=\frac{1}{k}$.

Czyli na przykład $a_{10}=\frac{1}{10}$, $a_{13}=\frac{1}{13}$, a $a_1=1$ itp.

Nazwa pochodzi z fizyki, a dokładniej od tego, że w drgającej strunie kolejne możliwe do uzyskania długości fali stojącej są w stosunku $1:\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\dots$.

Liczby harmoniczne

$H_n$, czyli n-ta liczba harmoniczna jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu harmonicznego tzn.

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{n}$.

Zobaczmy kilka przykładów:

$H_1=1$

$H_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$

$H_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$

Oznaczenie $H_n$ jako n-tą liczbę harmoniczną jest powszechnie znane. Jeśli napiszemy $H_n$, to raczej wszyscy będą wiedzieli, że chodzi o n-tą liczbę harmoniczną.

Ciąg Fibonacciego

Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez $(F_n)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots )$. Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:

$F_1=1$

$F_2=1$

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\text{ dla }n>2$

Gdy $F_6=8$ i $F_7=13$, wówczas $F_8=F_7+F_6=13+8=21$. Podobnie, gdy wiemy, że:

$F_{44}=701408733$

$F_{45}=1134903170$,

wtedy:

$F_{46}=F_{45}+F_{44}=1134903170+701408733=1836311903$.

Można łatwo przez indukcję dowieść, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$ (wzór Bineta)