Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Definicja

Szablon:Indeksuj Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy stały jest iloraz. Zobaczmy to na kilku przykładach:

• $(a_n)=(1,2,4,8,16,\dots )$
• $(b_n)=(2,6,18,54,162,\dots )$
• $(c_n)=(100,20,4,\frac{4}{5},\frac{4}{25},\dots )$
• $(d_n)=(10,100,1000,10000,100000,\dots )$

Popatrzmy na ciąg $(a_n)$. Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=\dots =2$. Podobnie w ciągu $(b_n)$ mamy $\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=\dots =3$. Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ jest stałe.

Szablon:Indeksuj Iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

Szablon:Wzór

Jak stąd wynika, musi być $q\ne 0$ w przeciwnym wypadku $a_2=a_3=0$ i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

$a_{n+1}=a_n\cdot q$...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny

Szablon:Indeksuj Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element $a_1$, a także iloraz q i wiemy, że zachodzi $a_{n+1}=a_n\cdot q$. Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

• $a_1$
• $a_2=a_1\cdot q$
• $a_3=a_2\cdot q=(a_1\cdot q)\cdot q=a_1\cdot q^2$
• $a_4=a_3\cdot q=(a_1\cdot q^2)\cdot q=a_1\cdot q^3$
• $a_5=a_4\cdot q=(a_1\cdot q^3)\cdot q=a_1\cdot q^4$
• ...

Widzimy, że $a_n$ jest postaci $a_1\cdot q^{pewnaliczba}$, a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

Szablon:Wzór

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ także zachodzi:

Szablon:Wzór

Szablon:Nawigacja