Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny

Definicja

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

• $(a_n)=(1,2,3,4,5,6,\dots )$
• $(b_n)=(2,4,6,8,10,\dots )$
• $(c_n)=(3,13,23,33,43,\dots )$
• $(d_n)=(15,10,5,0,-5,-10,-15,\dots )$

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu $(c_n)$ o 10. W $(a_n)$ już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy $(a_n)=(1,3,5,7,10,12,...)$ będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ $a_2-a_1=3-1=2$ i $a_5-a_4=10-7=3$, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Szablon:Indeksuj Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że $a_{n+1}$ to pewien wyraz, $a_n$ to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica $a_{n+1}-a_n$ będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

Szablon:Wzór

Wzór ogólny

Szablon:Indeksuj Powróćmy do ciągu $(c_n)=(3,13,23,33,43,\dots )$. Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz $c_1=3$, a różnica ciągu wynosi $r=23-13=10$. Ponieważ $r=c_2-c_1=10$, więc $c_2=c_1+10$, podobnie $c_3-c_2=10⟹c_3=c_2+10$, $c_4-c_3=10⟹c_4=c_3+10$ itd. Więc zrobimy tak:

$c_1=3$

$c_2=c_1+10=3+10$

$c_3=c_2+10=(3+10)+10=3+2\cdot 10$

$c_4=c_3+10=(3+2\cdot 10)+10=3+3\cdot 10$

$c_5=c_4+10=(3+3\cdot 10)+10=3+4\cdot 10$

$c_6=c_5+10=(3+4\cdot 10)+10=3+5\cdot 10$

...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postaci 3 + ileś · 10, a to "ileś" dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór $c_n=3+(n-1)\cdot 10$.

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu $(a_n)$, gdzie wiemy ile wynosi $a_1$ i znamy różnicę ciągu $r$. Czyli:

$a_1$ jest dane

$a_2=a_1+r$

$a_3=a_2+r=(a_1+r)+r=a_1+2r$

$a_4=a_3+r=(a_1+2r)+r=a_1+3r$

...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

Szablon:Wzór

Wiemy, że $a_{n-1}=a_1+(n-2)r$ oraz $a_{n+1}=a_1+nr$. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: $a_1+nr+a_1+(n-2)r=2a_1+nr+nr-2r=2a_1+2nr-2r$ Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy: $2(a_1+nr-r)=2(a_1+r[n-1])=2a_n$

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego $(a_n)$ zachodzi:

Szablon:Wzór

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

• ciąg jest rosnący, gdy różnica $r>0$,
• ciąg jest stały, gdy różnica $r=0$,
• ciąg jest malejący, gdy różnica $r<0$.

Łatwo to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla $r>0$ ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący: Szablon:Mat:Def

Załóżmy więc, że $r>0$ oraz: $b<c$, zbadajmy różnicę $a_c-a_b$: $a_c-a_b=a_1+(c-1)r-(a_1+(b-1)r)=a_1+cr-r-a_1-br+r=cr-br=r(c-b)$

Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c–b jest dodatnia (b<c). Zatem $a_c-a_b>0$, co oznacza, że ciąg jest rosnący.

Szablon:Nawigacja