Logika i teoria mnogości/Aksjomat wyboru

Kontrowersje

Aksjomat wyboru wśród innych aksjomatów teorii mnogości wywołuje wśród matematyków wiele kontrowersji. Jest to bowiem aksjomat, który definiuje istnienie zbioru bez podania jego konstrukcji. W matematyce pojawił się dość wcześnie, jednak jego sformułowanie podał dopiero w roku 1904 Ernst Zermelo (praca [1]). Właśnie wtedy rozpoczęło się najwięcej dyskusji na ten temat. Uważano bowiem, że dowody, które korzystały z pewnika wyboru, miały, z uwagi na charakter aksjomatu, inną naturę, aniżeli dowody bez pewnika. Jego zadziwiające konsekwencje pokazali Stefan Banach i Alfred Tarski, udowodnili bowiem, że przy użyciu pewnika wyboru da się rozłożyć kulę na skończoną liczbę części, a następnie złożyć z nich przez pewne przekształcenia, dwie identyczne z pierwszą kulą. Stąd też rozróżnienie przy definiowaniu systemu i opartej na nim teorii zbiorów na teorię mnogości ZF (model bez pewnika wyboru), w której czasami przyjmuje się zaprzeczenie aksjomatu wyboru i ZFC (model z dodanym pewnikiem wyboru).

Definicja

Szablon:Definicja Kwantyfikatorowo: Szablon:Definicja3 Aksjomat wyboru zwyczajowo oznacza się skrótem AC (z ang. Axiom of Choice). Twierdzenie, których dowody będą używały pewnika wyboru, będziemy oznaczali przez ${AC}^{}$

Sformułowania i twierdzenia równoważne

Szablon:Definicja3 Zbiór wartości tej funkcji nazywamy selektorem.

Wykażemy teraz równoważność tych zdań. Aby to zrobić należy udowodnić kolejne implikacje. Niech więc na początek dane będzie Szablon:Twierdzenie Dowód. Niech $𝒜=\{A_t{\}}_{t\in T}$ będzie dowolną rodziną parami rozłącznych zbiorów niepustych. Niech $𝒰=\bigcup 𝒜$. Z twierdzenia o dobrym porządku istnieje dobry porządek < na zbiorze $𝒰$. Niech teraz $f:T\to 𝒰$ będzie funkcją taką, że f(t) będzie najmniejszym elementem w sensie relacji < zbioru $A_t$. Ponieważ $𝒜$ jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, więc f(T) jest selektorem tej rodziny. $◻$

Bibliografia

[1] Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann. 59 (1904), 514-516.