Liczby zespolone/Sprzężenie liczby

Sprzężenie liczby zespolonej

Jakby nie patrzeć, z matematycznego punktu widzenia liczby zespolone są sumą dwóch jednomianów. Element o podwójnej konstrukcji zwany jest w matematyce dwumianem i posiada ciekawą właściwość zwaną sprzężeniem. Liczby zespolone poddają się jego charakterystycznym właściwościom tak samo jak liczby rzeczywiste.

Przypomnijmy sobie definicję tej właściwości: Szablon:Definicja

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej i liczba do niej sprzężonej

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej i liczba do niej sprzężonej

Definicja z pozoru całkiem zagmatwana. Rzeczy najprostsze chyba jest najtrudniej opisać. Kiedy bowiem sobie wszystko rozpiszemy - zabieg wydaje się trywialny.

Sprzężeniem dwumianu rzeczywistego $x+y$, jest również dwumian rzeczywisty $x-y$. Jeżeli za y podstawilibyśmy liczbę urojoną, to sprzężenie takie byłoby sprzężeniem liczby zespolonej. Wystarczy tylko spojrzeć na jej postać algebraiczną.

Sprzężenie liczby w matematyce oznacza się na dwa sposoby, albo przez oznaczenie liczby poziomą linią na górze $\bar{z}$, albo czasami przez oznaczenie liczby tzw. operatorem gwiazdki: $z^{\ast }$.

Szablon:Definicja.

Spoglądając na wykres, liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej odbiciem w symetrii względem osi rzeczywistej Re.

Właściwości sprzężenia

Sprzężenie dwóch liczb rzeczywistych dawało bardzo przydatną właściwość, znaną ze wzorów skróconego mnożenia. Podobnie jest z liczbami zespolonymi:

1. Iloczyn liczby zespolonej $z$ i liczby do niej sprzężonej $\bar{z}$:

   $z\cdot \bar{z}=(a+ib)\cdot (a-ib)=a^2-(ib{)}^2=a^2+b^2$,

2. Sprzężenie liczby sprzężonej:

   $\overline{(\stackrel{‾}{z})}=z$,

3. Sprzężenie sumy jest sumą sprzężeń:

   $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$,

4. Sprzężenie różnicy jest różnicą sprzężeń:

   $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$,

5. Sprzężenie iloczynu jest iloczynem sprzężeń:

   $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$,

6. Sprzężenie ilorazu jest ilorazem sprzężeń:

   $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$, zakładając że $z_2\ne 0$,

7. Suma liczby zespolonej $z$ i liczby do niej sprzężonej $\bar{z}$:

   $z+\bar{z}=2a=2\mathrm{Re}(z)$

8. Różnica liczby zespolonej $z$ i liczby do niej sprzężonej $\bar{z}$:

   $z-\bar{z}=2ib=2i\mathrm{Im}(z)$

9. Część rzeczywista sprzężenia:

   $\mathrm{Re}(\bar{z})=\mathrm{Re}(z)$,

10. Część urojona sprzężenia:

    $\mathrm{Im}(\bar{z})=-\mathrm{Im}(z)$,