Liczby zespolone/Postać trygonometryczna

Postać trygonometryczna

Leonhard Euler bardzo zainteresował się pracami Wessela, Gaussa i Arganda. Pozwoliły one bowiem na proste przyswojenie sobie poglądu na liczby zespolone - i potraktowanie ich jako liczb faktycznie istniejących w matematyce.

Dysponując znajomością biegunowego sposobu zapisu liczb zespolonych, na pewno rzucą nam się w oczy pewne zależności, pozwalające zapisać poszczególne części liczby zespolonej jako złożenie funkcji trygonometrycznych. Wystarczy tylko ponownie przyjrzeć się wzorom Argranda z poprzedniego działu. W końcu sam argument liczby zespolonej opisany jest funkcją tangensa.

Biegunowy opis liczby zespolonej

Zwróćmy więc uwagę, na zależności trygonometryczne trójkąta prostokątnego - skoro w ogólnym przypadku funkcja tangens jest złożeniem funkcji sinus i cosinus, postaci: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ to warto zbadać wartości tych funkcji dla liczb zespolonych. Zobaczmy więc, z definicji funkcji trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, co otrzymamy:

cosinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta, do przeciwprostokątnej

$\cos (\phi )=\frac{a}{|z|}$

sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta, do przeciwprostokątnej

$\sin (\phi )=\frac{b}{|z|}$

Dociekliwi zauważą, że w tych równaniach możemy znaleźć trygonometryczny opis dla wartości realnej jak i wyimaginowanej z pomocą parametrów biegunowych.

Stąd też wartość rzeczywistą liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i cosinusa: Szablon:Wzór Natomiast wartość urojoną liczby zespolonej opisać możemy za pomocą jej modułu i sinusa: Szablon:Wzór

Podstawiając te wartości do wzoru na postać algebraiczną liczby zespolonej, określoną wzorem:

$z=\mathrm{Re}(z)+i\mathrm{Im}(z)$

otrzymamy:

$z=|z|\cdot \cos (\phi )+|z|\cdot i\sin (\phi )$

Własności postaci trygonometrycznej

• Jeśli moduł liczby zespolonej $|z|=0$, to sama liczba zespolona wynosi zero: $z=0$ oraz jej argument: $\phi =0$.
• Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich moduły są równe: $|z_1|=|z_2|$ oraz argument jednej jest wielokrotnością drugiej, postaci:  ${\phi }_1={\phi }_2+2k\pi ,\text{dla}k\in \mathbb{Z}$.

• Mnożenie liczb zespolonych $z_1=|z_1|\cdot (\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)$ oraz $z_2=|z_2|\cdot (\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$ ma postać:

  $z_1\cdot z_2=|z_1\cdot z_2|\cdot [\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]$

  Słownie przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy

• Dzielenie liczb zespolonych $z_1=|z_1|\cdot (\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)$ oraz $z_2=|z_2|\cdot (\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$ ma postać:

  $\frac{z_1}{z_2}=\left|\frac{z_1}{z_2}\right|\cdot [\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]$

  Słownie przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy

Szablon:Kreska nawigacja.