Fizyka statystyczna/Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego

Wyprowadzimy statystykę Bolztmanna bezpośrednio z przesłanek czysto statystycznych, statystyki Fermiego i Diraca wyprowadzone poprzez kombinację bez powtórzeń (statystyka Fermiego) lub przez kombinację z powtórzeniami (statystyka Bosego), korzystając że pochodna entropii przyjmuje wartość maksymalną, czyli pierwsza pochodna wspomnianej funkcji termodynamicznej przyjmuje w tym punkcie wartość zero.

Funkcjonał entropii

Załóżmy, że energie są skwantowane i istnieje l poziomów o energiach Szablon:Formuła. Średnia energia znajdujących się w układzie cząstek piszemy w zależności o energii poszczególnych poziomów jakie zajmują cząstki obsadzając stany pomnożone przez liczbę cząstek nSzablon:Sub o numerze "i", a liczba cząstek jest sumą tych wszystkich cząstek znajdujących się w tych stanach. Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy funkcjonał oparty i uzupełniony o współczynniki Lagrange'a, który spełnia te same właściwości co entropia S. Szablon:CentrujWzór

Rozkład Boltzmanna

Załóżmy, że istnieje N cząstek w l przegrodach, to wtedy możliwości obsadzeń jest: Szablon:CentrujWzór Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór) i Szablon:LinkWzór), którego definicja S jest dana tutaj wzorem Szablon:LinkWzór, ma pochodną cząstkową względem nSzablon:Sub równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, co na podstawie Szablon:LinkWzór zamiast D możemy napisać Szablon:Formuła w Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór Jak łatwo można sprawdzić, że druga pochodna funkcjonału Szablon:LinkWzór przyjmuje wartość ujemną, co spełnia właściwości maksymalizacji entropii bo wtedy zachodzi: Szablon:CentrujWzór Końcowy wzór na liczbę cząstek nSzablon:Sub Szablon:LinkWzór jest to rozkład Boltzmanna.

Statystyka Fermiego

W każdych obsadzanych poziomów istnieje Szablon:Formuła stanów, które można obsadzać w przeróżny sposób przez nSzablon:Sub cząstek, w których w każdej z przegródek (poziomów) może się znajdować conaj wyżej jedna cząstka, liczymy je jako kombinację bez powtórzeń: Szablon:CentrujWzór Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych WSzablon:Sub dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l: Szablon:CentrujWzór Jeśli podstawić do wzoru na entropię Szablon:LinkWzór wyrażenie Szablon:LinkWzór, która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy pochodną cząstkową entropii Szablon:LinkWzór względem nSzablon:Sub, która jest ilością cząstek w stanie "i": Szablon:CentrujWzór Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór), którego definicja S jest dana tutaj wzorem Szablon:LinkWzór, ma pochodną cząstkową równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają. Jeśli w naszym funkcjonale na S Szablon:LinkWzór dobierzemy współczynniki Lagrange'a co dostając wzór Szablon:LinkWzór wtedy pochodna funkcjonału po przyrównaniu go do zera przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Z równości Szablon:LinkWzór z pewnością możemy napisać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Ostatecznie z tożsamości końcowej wyznaczonej w punkcie Szablon:LinkWzór otrzymujemy liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i" o energii εSzablon:Sub, gdy w tym wstanie istnieje gSzablon:Sub przegród. Szablon:CentrujWzór Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Fermiego druga pochodna funkcjonału Szablon:LinkWzór ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii, bo wtedy Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór przedstawia rozkład Fermiego (liczby cząstek zajmującej dany poziom o energii Szablon:Formuła) w zależności od energii εSzablon:Sub danego poziomu.

Statystyka Bosego

Załóżmy, że poziomy są skwantowane, które są podzielona na l poziomów. W każdym poziomie znajduje się Szablon:Formuła stanów. Każdy stan może być wybierany więcej niż jeden raz. Liczba możliwych obsadzeń danego stanu jest kombinacją z powtórzeniami. Liczba tych sposobów jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych WSzablon:Sub dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l: Szablon:CentrujWzór Jeśli podstawić do wzoru na entropię Szablon:LinkWzór wyrażenie Szablon:LinkWzór, która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Pochodna cząstkowa entropii Szablon:LinkWzór względem liczby cząstek obsadzających dany poziom o numerze i, czyli względem nSzablon:Sub, jest wyrażona przez wzór: Szablon:CentrujWzór Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a, którą definiujemy wzorem Szablon:LinkWzór, w którym wykorzystamy definicję entropii zapisaną według Szablon:LinkWzór, ma pochodną cząstkową względem nSzablon:Sub równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, zatem mając wzór Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór dokonując prostych przekształceń, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Z równości Szablon:LinkWzór dostajemy wzór na rozkład cząstek zwanych bozonami, które obsadzają dany poziom o energii εSzablon:Sub, gdzie w tym poziomie liczba stanów jest równa gSzablon:Sub. Szablon:CentrujWzór Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Bosego druga pochodna funkcjonału Szablon:LinkWzór ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii bo wtedy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest wzorem na rozkład Bosego.

Wyznaczanie parametrów B i C w rozkładach Boltzmanna, Fermiego i Bosego

Funkcjonał napisanej w punckie Szablon:LinkWzór możemy zapisać względem średniej energii i liczby cząstek należących do układu, tak by po tych przekształceniach otrzymać wzór: Szablon:CentrujWzór Z równania Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo termodynamiczne układu statystycznego, jeśli średnia energia i liczba cząstek jest jakaś tam: Szablon:CentrujWzór Z definicji temperatury statystycznej napisanej wedle wzoru Szablon:LinkWzór dla definicji prawdopodobieństwa termodynamicznego dla rozkładu Fermiego lub Bosego wyrażających się wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy możemy wyznaczyć stałą "B" występujących we wzorze Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Również można napisać korzystając z definicji stałej B Szablon:LinkWzór średnią wartość, która jest zależna tylko od temperatury: Szablon:CentrujWzór Gdy C i D są równe zero mamy zespół kanoniczny, gdy tylko C jest równe zero to mamy wielki zespół kanoniczny, gdy D jest równe zero mamy statystykę (T,P,N) a gdy C i D są nierówne zero to mamy statystykę (T,p,μ). Jeśli przyjmiemy, że stała C jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania Szablon:LinkWzór cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą C, która jest wyrażona w zależności od parametru β i ciśnienia p. Szablon:CentrujWzór Jeśli przyjmiemy, że stała D jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania Szablon:LinkWzór cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą D, która jest wyrażona w zależności od parametru β i potencjału chemicznego μ. Szablon:CentrujWzór Rozkład Boltzmanna zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór, rozkład Fermiego zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór i Bosego zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór możemy zapisać po uzupełnienia w nich za definicję stałej "B" wzór Szablon:LinkWzór, stałej "C" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór Szablon:LinkWzór i stałej "D" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór Szablon:LinkWzór, to wtedy: Szablon:Tabelka