Fizyka statystyczna/Idealne gazy kwantowe

Promieniowanie ciała doskonale czarnego-gaz fotonowy

Ciało doskonale czarne, możemy sobie wyobrazić jako pewną wnękę z bardzo małą dziurką, przez którą mogą przedostawać się fotony.

Fotony to są kwanty promieniowania, które są bozonami o spinie równej Szablon:Formuła, mają masę spoczynkową równą zero, pęd obliczamy z równania de Broglie'a, czyli dla fotonu w zależności od wektora falowego, jest równy: Szablon:Formuła. Charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji ε i podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Mówimy, że układ znajduje się w stanie w równowagi termodynamicznej, jeśli taka sama ilość fotonów przedostaje się przez tą dziurkę na zewnątrz, jak też do wewnątrz tej komory, tak więc uczynimy. Ilość fotonów w takiej komorze jest stała, tzn. potencjał chemiczny wynosi 0, a potencjał czasowy też jest równy zero, bo w układzie nie zachodzą reakcję jądrowe, czy chemiczne, czy nawet procesy mieszania się składników, z którym jest związane wydzielanie lub pochłonięcie energii, zatem wzory na potencjał chemiczny i czasowy, znając energię swobodną układu napisanych wedle wzoru Szablon:LinkWzór, są zapisane: Szablon:ElastycznyWiersz Ze wzoru Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór energia swobodna Szablon:LinkWzór z definicji ekstremum osiąga wartość ekstremalną, tzn. osiąga minimum albo maksimum w zależności od znaku wyższych pochodnych energii swobodnej względem liczby fotonów znajdujących się w układzie. Wzór Plancka na energie kwantu fotonu, który zależy od częstotliwości lub częstotliwości kołowej fotonów, jest: Szablon:CentrujWzór Wiemy jednak, że całkowita energia układu fotonów w układzie (w wnęce, wewnątrz ciała doskonale czarnego) jest określona jako suma energii wszystkich korpuskułów zwanych fotonami, czyli inaczej mówiąc, jest to suma iloczynu liczby cząstek o danej energii Szablon:LinkWzór pomnożonej przez tą właśnie energię: Szablon:CentrujWzór Możemy policzyć sumę statystyczną, na podstawie wzoru na średnią energię całkowitą układu Szablon:LinkWzór w kwantowym zespole kanonicznym, jako: Szablon:CentrujWzór Dwójka jako wykładnik potęgi w sumie statystycznej Szablon:LinkWzór pojawia się, bo fotony charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji. Wykorzystamy równanie Szablon:LinkWzór do obliczenia energii swobodnej, którego definicja jest podana w punkcie Szablon:LinkWzór, ale dla układu statystycznego w zespole kanonicznym kwantowym, zależy ona ogólnie od sumy statystycznej, której definicja jest napisany w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Promieniowanie we wnętrze podlega klasycznemu równaniu falowemu wynikającego elektrodynamiki klasycznej Maxwella, jego równanie jest przedstawione: Szablon:CentrujWzór Rozwiązaniem równania falowego Szablon:LinkWzór jest rozwiązanie we funkcjach falowych o częstotliwości drgań ω i o licznie falowej "k": Szablon:CentrujWzór Wstawiamy przypuszczalne rozwiązanie równania falowego Szablon:LinkWzór do równania falowego Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ wartość funkcja eksponens jest zawsze różna od zera z definicji tejże funkcji, zatem z równania Szablon:LinkWzór dostajemy zależność między częstością kołową ω fali fotonów znajdujących się we wnęce w zależności od jego liczby falowej k, który jest ilorazem liczby 2π przez długość tejże opisywanej tutaj fali λ, ten opis jest wedle wzoru: Szablon:CentrujWzór Funkcja Szablon:LinkWzór powinna być periodyczna, tzn. wartość funkcji na ściankach we wnęce sześciennego układu powinna być wszędzie stała i powinna spełniać warunek, że wychylenia drgań fali reprezentujący fotony na ściankach tego układu powinno być wszędzie takie same. Szablon:CentrujWzór Z rozwiązania funkcji falowej Szablon:LinkWzór i warunku brzegowego na tą poprzednio wspomnianą funkcję, czyli Szablon:LinkWzór wynika zależność, która wynika z periodyczności funkcji falowej zakładając przy tym Szablon:Formuła (mamy sześcian): Szablon:CentrujWzór gdzie:

• Szablon:Formuła współrzędne wektora falowego o numerze "i" wektora falowego.
• Szablon:Formuła są to pewne stałe całkowite (niedodatnie i nieujemne)

Dochodzimy do wniosku, że liczba falowa jest wielkością skwantowaną i napisaną wedle równania końcowego Szablon:LinkWzór. Elementarna objętość zajmowana przez numerowane wektory falowe, którego współrzędne są napisane wedle Szablon:LinkWzór w przestrzeni wektorów falowych Szablon:Formuła, jest równa: Szablon:CentrujWzór Liczba stanów w objętości elementarnej Szablon:Formuła jest stosunkiem tejże właśnie liczby przez objętość elementarną wyrażoną wzorem Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór

Częstotliwość kołowa fali elektromagnetycznej, pojedyńczego fotonu z warunku Szablon:LinkWzór oraz z definicji skwantowanego wektora falowego Szablon:LinkWzór, jest napisana: Szablon:CentrujWzór Ciśnienie gazu fotonowego można policzyć ze wzoru z fizyki fenomenologicznej Szablon:LinkWzór i korzystając z już policzonej sumy statystycznej Szablon:LinkWzór, wtedy to oczekiwane ciśnienie gazu fotonowego panujące we wnęce jest napisane: Szablon:CentrujWzór Pochodna cząstkowa częstotliwości kołowej względem objętości można policzyć wychodząc tylko ze wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Po podstawieniu wzoru Szablon:LinkWzór do równania na ciśnienie gazu fotonowego Szablon:LinkWzór, wtedy dochodzimy do wniosku, że ta wielkość jest: Szablon:CentrujWzór Po dalszych przekształceniach wyrażenia Szablon:LinkWzór, Wyznaczamy iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętości (objętości wnęki), to: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy energię wewnętrzną gazu fotonowego (gazu we wnęce) korzystając ze statystyki Bosego-Einsteina dla bozonów Szablon:LinkWzór i falowej natury fotonów (mają pewną częstość fali) oraz że fotony są kwantami według Plancka, a także skorzystamy, że fonony występują w dwóch polaryzacjach, zatem energia całkowita układu fotonów ma się wedle: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć pewien czynnik, zwany energią układu opisany przy pomocy wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy całkowitą energię wewnętrzną gazu wypromieniowania przez gaz o wszystkich częstościach, korzystając ze wzoru na energię układu fotonów napisanego wcześniej Szablon:LinkWzór oraz ze wzoru na gęstość stanów Szablon:LinkWzór, która powstaje podczas zamieniania zwykłej sumy na całkę jako czynnik w tejże całce. Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór za częstość kołową fotonów, jeśli traktować je jako falę. Szablon:CentrujWzór Korzystamy z całki przystępnej znanej i policzonej z analizy matematycznej: Szablon:CentrujWzór Korzystamy z już policzonej całki Szablon:LinkWzór i wykorzystujemy tą całkę do wyliczenia całki we wzorze Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy zwarte równanie na energię wewnętrzną układów fotonów we wnętrze: Szablon:CentrujWzór A energia całkowita wypromieniowana fotonów z cała doskonale czarnego dla wszystkich częstości na jednostkę objętości można policzyć, korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór na energię wewnętrzną dzieląc tą właśnie wielkość przez objętość tego rozważanego ciała. Szablon:CentrujWzór Ciepło właściwe pod stałą objętością gazu doskonałego dostajemy, biorąc pochodną cząstkową wyrażenia Szablon:LinkWzór względem temperatury bezwzględnej pod stałą objętością, wtedy mamy wniosek: Szablon:CentrujWzór Prawo przedstawione wzorem Szablon:LinkWzór przedstawiające ciepło właściwe w zależności od temperatury nosi nazwę prawa Stefana-Boltzmanna.

Właściwości termodynamiczne idealnego gazu fermionowego

Wiemy, że fermiony nie mogą znajdować się w stanie kwantowym w liczbie większym niż 1, nie tak jak cząstki zwane bozonami. Liczba fermionów znajdujących się wstanie A może znajdować się co najwyżej jeden fermion, czyli zero lub jeden. Licząc wielką sumę statystyczną skorzystajmy ze wzoru Szablon:LinkWzór pamiętając, że mamy do czynienia z fotonami, a potencjał czasowy jest równy zero, ze względu, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, i procesy wydzielania lub pochłonięcia się energii wyniku mieszania się składników, tam nie zachodzą, ale za to fermiony od zewnątrz mogą dochodzić. Szablon:CentrujWzór Po wstawieniu za wielką sumę statystyczną wyliczoną w punkcie Szablon:LinkWzór do wzoru łączące potencjał termodynamiczny z iloczynem ciśnienia punującego w gazie fermionowym przez jego objętość jaką ten gaz zajmuje, ta opisywana formuła jest napisana wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Będziemy korzystać tutaj ze wzoru, znanego z mechaniki klasycznej na energię kinetyczną cząstki napisanej w zależności od jego pędu klasycznego według Newtona: Szablon:CentrujWzór Wzór znanego z teorii o falach de Broglie'a, który stanowi jakoby przelicznik długości fali na pęd posiadanej przez ciało, a jeśli mamy pęd, to mamy jego całkowitą posiadaną energię przez ściśle określoną cząstkę, a wiec pęd naszego ciała w zależności od jego długości fali, jeśli te cząstki traktować jako fale, jest równy: Szablon:CentrujWzór Oczywiście jest, że z definicji liczby falowej zdefiniowaną przez długość fali mamy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Możemy wyznaczyć pęd cząstki, znając jego liczbę falową, tzn. podstawiając wzór Szablon:LinkWzór do wzoru na pęd cząstki Szablon:LinkWzór, wtedy dochodzimy do zależności pędu cząstki w zależności od jego liczby falowej posiadanej przez falę stowarzyszoną z tą cząstką. Szablon:CentrujWzór Aby otrzymać wzór na energię kinetyczną cząstki należy wzór na pęd Szablon:LinkWzór podstawić do wzoru na energię cząstki kwantowej Szablon:LinkWzór, ostatecznie: Szablon:CentrujWzór Pamiętając, że wyrażenie Szablon:LinkWzór stanowi elementarną objętość w przestrzeni fazowej, zatem liczba stanów w elementarnej przestrzeni fazowej jest napisana poprzez wzór Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ze wzoru Szablon:LinkWzór wyznaczmy kwadrat wektora falowego, oczywiście jest, że wtedy otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Zróżniczkujmy obie strony tożsamości Szablon:LinkWzór, tzn. prawą i lewą stronę tegoż wspomnianego równania, to otrzymane równanie dzielimy przez liczbę dwa, mamy: Szablon:CentrujWzór Z równania Szablon:LinkWzór wyznaczmy wartość wektora falowego w zależności od energii pojedynczej cząstki: Szablon:CentrujWzór Mając wzór Szablon:LinkWzór i końcowy wzór Szablon:LinkWzór, wtedy za pomocą tychże tożsamości możemy policzyć wyrażenie pomocnicze, które nam będzie potrzebne w dalszych rachunkach: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy liczbę stanów opisywanych przez wzór Szablon:LinkWzór wykorzystując obliczoną tożsamość Szablon:LinkWzór, zatem dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest wyrażona przez wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Uwzględniając sumę po spinach fermionu, tzn zgodną lub niezgodnie z kierunkiem ruchu fermionu, czyli nasz czynnik wynosi 2. Wyznaczmy sumę występującą wyrażeniu Szablon:LinkWzór, w tym celu policzmy wyrażenie pomocnicze: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór możemy podstawić do prawej części wzoru za sumę Szablon:LinkWzór, jednocześnie tą równość dzielimy obustronnie przez iloczyn stałej Boltzmanna i temperatury bezwzględnej, stąd mamy równość: Szablon:CentrujWzór A teraz całkujemy przez części całkę występującą po prawej stronie równości Szablon:LinkWzór, względem zmiennej εSzablon:Sub; pamiętając, że otrzymane wyrażenie niecałkowe występujące w wyrażeniu poniżej jest zawsze równe zero: Szablon:CentrujWzór A teraz napiszmy, czemu jest równa średnia energia wszystkich cząstek (fermionów) w układzie, w tym celu napiszmy przekształcenia ogólne na cząstkach zwanych fermionami: Szablon:CentrujWzór Z przekształceń Szablon:LinkWzór dostajemy, że energia wewnętrzna układu fermionów jest równa sumie iloczynu liczby cząstek n(εSzablon:Sub) o energii εSzablon:Sub przez tą właśnie energię sumując po wszystkich parametrach "k" jakie może przyjmować układ kwantowy badanego zespołu fermionów. Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy sumę Szablon:LinkWzór na energię układu fermionów, wtedy należy uwzględnić sumowanie po spinach (zgodną i odwrotną z kierunkiem ruchu fermionu), tak jak w obliczeniach Szablon:LinkWzór, zatem ta energia jest: Szablon:CentrujWzór Równanie na energię wewnętrzną U Szablon:LinkWzór wstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy równanie wiążące ciśnienie, objętość gazy fermionowego z jego energią wewnętrzną (energią układu fermionów): Szablon:CentrujWzór

Kondensacja Bosego-Einsteina

Rozważmy idealny nierelatywistyczny gaz bozonowy o liczbie cząstek N. Masa pojedynczej cząstki wynosi m. W gazie idealnym zakładamy, że nie ma oddziaływania między pojedynczymi atomami (cząsteczkami). Energia pojedynczego atomu jest równa według wyrażenia zależnego od liczby falowej "k" jeśli traktować je jako fale według teorii korpuskularno-falowej Szablon:LinkWzór. Średnia liczba wszystkich cząstek znajdujących się w naszym badanym układzie kwantowym jest wyrażona przez sumę liczby cząstek znajdujących się na poszczególnych poziomach o energiach tychże poziomów równych εSzablon:Sub określonych wedle wzoru Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Wiemy, że zawsze bozony podlegają statystyce Bosego-Einsteina, więc średnią liczbę cząstek, pamiętając, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, tam nie zachodzą, wtedy Szablon:Formuła, czyli możemy zapisać wedle schematu liczbę cząstek bozonów: Szablon:CentrujWzór Rozważmy, liczbę cząstek NSzablon:Sub znajdujących się w stanie, gdy energia tego poziomu εSzablon:Sub jest równa zero, która jest napisana: Szablon:CentrujWzór Jeśli przyjmiemy oznaczenia zmiennej z w zależności od potencjału chemicznego panującego w układzie wymieniającego cząstki z otoczeniem i względem parametry β, która jest zależna od temperatury bezwzględnej, zatem to oznaczenie w końcu zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Aby NSzablon:Sub, była istotnie większa od zera, to musi zachodzić NSzablon:Sub>0, to zgodnie z naszym założeniem liczba "z" powinna być z zakresu od zera do jedynki w przedziale obustronnie otwartym. Dla tych "z" funkcja Szablon:LinkWzór przyjmuje wartość istotnie dodatnią, i tylko wtedy występuje kondensacja Bosego-Einsteina. Wzór na średnią liczbę cząstek znajdujących się w układzie wedle wyrażenia Szablon:LinkWzór, zamieniając w nim sumowanie na całkę wprowadzając w tej całce po tej zamianie gęstość stanów D(εSzablon:Sub), jest: Szablon:CentrujWzór Podstawiając za gęstość stanów D(εSzablon:Sub)dεSzablon:Sub wyrażenie wyprowadzone wcześniej, które jest słuszne na klasycznych cząstek kwantowych, a więc dla cząstek uczestniczących w kondensacji Bosego-Einsteina, określonych wedle wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy tą liczbę N przedstawiamy wzorem: Szablon:CentrujWzór

Zauważmy, że bezmyślnie zamiana sumowania na całkowanie, prowadzi do błędu, gdyż gubimy wszystkie bozony obsadzająca stan zerowy, tzn. dla stanu dla którego jego energia εSzablon:Sub jest równa zero, gdyż ta funkcja podcałkowa nie uwzględnia tego opisywanego w tychże dysputach stanu cząstek o tej energii. W tym celu prowadźmy oznaczenia liczby cząstek na jednostkę objętości V z ogólnej liczby cząstek i liczby cząstek na jednostkę objętości nSzablon:Sub ulegająca kondensacji Bosego-Einsteina. Szablon:ElastycznyWiersz I dlatego wzór Szablon:LinkWzór napisanych przy pomocy wzoru na n Szablon:LinkWzór (całkowita liczba bozonów znajdująca się w układzie) i nSzablon:Sub Szablon:LinkWzór (liczba bozonów ulegająca omawianej kondensacji przy energii cząstek dla tego poziomu dla kondensatu jest równa zero) wyraża się: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy całkę pomocniczą znajdująca się we równaniu Szablon:LinkWzór po prawej jego stronie wspomnianego równania: Szablon:CentrujWzór Następnie dokonajmy podstawienia wedle schematu u=lx w obliczeniach pomocniczych Szablon:LinkWzór, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Całka przystępna znana w analizie matematycznej podajemy poniżej, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach: Szablon:CentrujWzór Obliczoną całkę Szablon:LinkWzór wsadzamy do Szablon:LinkWzór, a to z kolei wsadzamy do wzoru Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Oznaczmy wyrażenie stojące z prawej strony wzoru Szablon:LinkWzór zależne od parametru "z" zdefiniowanej wedle Szablon:LinkWzór jako funkcję gSzablon:Sub(z): Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór, na podstawie podstawienia do niego wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy wzór na "n" w zależności od nSzablon:Sub i liczby "z" zdefiniowanej wedle Szablon:LinkWzór, jest: Szablon:CentrujWzór Liczba bozonów o pędzie zerowym na jednostkę objętości zależne z oczywistych powodów od parametru z zdefiniowanej wedle Szablon:LinkWzór, jakie zajmują te bozony jest oczywiście wyrażona przez: Szablon:CentrujWzór Oznaczmy jako parametr λ, który jest zdefiniowany wedle schematu poniżej, zależnej od masy tychże bozonów i temperatury układów bozonów: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór na podstawie oznaczenia przez parametr λ Szablon:LinkWzór jest napisane: Szablon:CentrujWzór Po przekształceniu wyrażenie Szablon:LinkWzór tak by ten obiekt pomnożyć przez stałą λSzablon:Sup, wtedy dochodzimy do wyrażenia równoważnego do poprzedniego: Szablon:CentrujWzór Temperatura przy której nSzablon:Sub jest istotnie różna od zera, to dla z→ 1. Wiemy, że funkcja gSzablon:Sub jest funkcją rosnącą według jego definicji Szablon:LinkWzór, ponieważ funkcje potęgowe w nim występujące są funkcjami potęgowymi rosnącymi, i wartość maksymalną przyjmuje dla parametru "z" jest dla z równej jeden dla wcześniej określonego przedziału zmienności zmiennej "z". Kondensacja występuje przy spełnionym warunku z→ 1, wtedy nSzablon:Sub jest równe zero, zatem wzór Szablon:LinkWzór przy tych warunkach przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór A zatem przy pomocy wzoru dla oznaczenia λ Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór można zapisać w takowej postaci: Szablon:CentrujWzór Temperaturę krytyczną TSzablon:Sub na podstawie równania Szablon:LinkWzór można zapisać: Szablon:CentrujWzór Wiadomo, że w kondensacie Bosego-Einsteina, jeśli skorzystamy ze wzoru Szablon:LinkWzór dla temperatury krytycznej, w której zaczyna się tworzyć kondensat Bosego-Einsteina, wtedy nSzablon:Sub=0, a liczba cząstek "n" w zależności od temperatury krytycznej jest zapisana: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór zapisanej na ogólną liczbę cząstek bozonów w badanym układzie na podstawie Szablon:LinkWzór przyjmuje inną równoważną do poprzedniego postać: Szablon:CentrujWzór Wyznaczamy wielkość nSzablon:Sub we wzorze na całkowitą liczbę cząstek znajdujących się w układzie bozonów w zależności od liczby cząstek ulegających kondensacji Szablon:LinkWzór, zatem dochodzimy do wniosku, że liczba cząstek ulegająca kondensacji spełnia tożsamość: Szablon:CentrujWzór W bezpośrednim otoczeniu Szablon:Formuła, przyjmujemy zgodnie dyskusją wcześniejszą, że parametr "z" jest równy jeden, wtedy wzór Szablon:LinkWzór po wzajemnym skróceniu funkcji gSzablon:Sub(1) dostajemy przepis na liczbę cząstek ulegająca kondensacji w otoczeniu wspomnianego punktu: Szablon:CentrujWzór Podkreślmy na zakończenie, że bozony dla temperatury bezwzględnej T>TSzablon:Sub tworzą osobną fazę niż dla temperatury bezwzględnej T<TSzablon:Sub, wtedy tą ostatnią fazę nazywamy kondensatem Bosego-Einsteina.