Fizyka statystyczna/Fluktuacje i ruchy Browna

Będziemy się zajmować fluktuacjami energii (zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny) i fluktuacją ilości cząstek w układzie (wielki zespół kanoniczny).

Definicja fluktuacji bezwzględnej

Fluktuacją nazywamy wartość średnią kwadratową odchylenia wielkości x od jej wartości średniej i będziemy je oznaczać: Szablon:Formuła, zatem z definicji średniego odchylenia możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Zatem ze wzoru Szablon:LinkWzór dostajemy równoważne do poprzedniego wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór widzimy, że fluktuacja zależy od średniej kwadratu wielkości x i od średniej tegoż wyrażenia, ten wzór Szablon:LinkWzór jest alternatywnym zgodnym wzorem z początkową definicją fluktuacji średniej dla badanego układu.

Definicja fluktuacji względnej

Fluktuacją względną nazywamy wielkość zddefiniowanej za pomocą ilorazu fluktuacji bezwzględnej zdefiniowanej wedle wzoru Szablon:LinkWzór przez wartość statystyczną średnią danego układu, i oznaczmy ją literką "k", omawiana wielkość jest równa: Szablon:CentrujWzór

Fluktuacje w zespole kanonicznym (T,V,N,t)

Średnia energia układu według zespołu kanonicznego, którego wyprowadzenie napisaliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór jest ona równoważna do wspomnianego wzoru na tą średnią wzorowi wyrażone poprzez sumę statystyczną "Z", ale nie używają logarytmu naturalnego: Szablon:CentrujWzór A średnia kwadratu energii układu wyrazimy przez sumę statystyczną naszego zespołu kanonicznego, i którą policzymy z definicji wartości średniej kwadratu energii jakie układ statystyczny może przyjmować: Szablon:CentrujWzór Średni kwadrat fluktuacji bezwzględnej energii cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym, która jak wyprowadzimy jest zależna liniowo od kwadratu temperatury bezwzględnej układu oraz liniowo od ciepła właściwego pod stałą objętością: Szablon:CentrujWzór W rezultacie na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór wzór na kwadrat odchylenia kwadratowego piszemy wedle: Szablon:CentrujWzór

Rząd fluktuacji energii

Jeśli energia wewnętrzna na podstawie gazu doskonałego klasycznego jest wyrażona wzorem Szablon:LinkWzór w układzie zamkniętym, którą dla porządku dziennego powtórzymy jego zapis poniżej: Szablon:CentrujWzór Ciepło właściwe gazu doskonałego o energii wewnętrznej U, zdefiniowanej przy pomocy wzoru Szablon:LinkWzór, dla nieoddziaływających klasycznych cząstek jest wielkością niezależna od temperatury, jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Względna fluktuacja energii wewnętrznej układu zamkniętego Szablon:LinkWzór przy definicji ciepła właściwego dla tego gazu w tym układzie Szablon:LinkWzór przy wykorzystaniu wzoru na bezwzględną fluktuację energii Szablon:LinkWzór, wyraża się: Szablon:CentrujWzór Oczywiste jest, że według Szablon:LinkWzór, mamy końcowy wzór na względna fluktuację liczby cząstek znajdującej się w układzie: Szablon:CentrujWzór Na podstawie wzoru na względną fluktuację względną Szablon:LinkWzór otrzymamy, że czym większa jest liczba cząstek, to względna fluktuacja energii w danym układzie jest czym mniejsza. Dla liczby cząstek N dążących do nieskończoności względna fluktuacja wynosi zero, czyli nie ma względnych fluktuacji energii.

Fluktuacje w wielkim zespole kanonicznym (T,V,μ,t)

Fluktuacja energii wewnętrznej

Średnia energia układu w wielkim zespołu kanonicznym udowodnionych w punkcie Szablon:LinkWzór jest równa wzorowi wyrażone poprzez wielką sumę statystyczną "Q": Szablon:CentrujWzór A średnia kwadratu energii układu wyrazimy także przez sumę statystyczną jak w przypadku Szablon:LinkWzór dla naszego wielkiego zespołu kanonicznego jest równa: Szablon:CentrujWzór Średnia kwadrat fluktuacja energii cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym jak się przekonamy, jest ona proporcjonalna liniowo do kwadratu temperatury bezwzględnej i liniowo do ciepła właściwego pod stałym parametrem równym objętości układu: Szablon:CentrujWzór W rezultacie mamy na podstawie Szablon:LinkWzór równość, którą przepiszemy dla przejrzystości wykładu: Szablon:CentrujWzór

Rząd fluktuacji energii

Jeśli energia wewnętrzna dla wielkiego zespołu kanonicznego dla gazu doskonałego klasycznego jest napisana wedle wzoru Szablon:LinkWzór w układzie zamkniętym oraz pamiętając, że ciepło właściwe pod stałą objętością jest takie jak we wzorze Szablon:LinkWzór. Korzystając ze wzoru na energię średnią układu (energia wewnętrzna układu cząstek układu statystycznego), to względna fluktuacja energii jest napisana przez wzór zależnych od średniej liczby cząstek znajdujących się w układzie wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Na podstawie Szablon:LinkWzór, czym większa jest średnia liczba cząstek, to względne fluktuacje energii w danym układzie są czym mniejsze. Dla średniej liczby cząstek układu dążących do nieskończoności nie ma względnych fluktuacji energii.

Fluktuacja liczby cząstek

Średnia liczba cząstek w układzie według wielkiego zespołu kanonicznego, którego wyprowadzenie napisaliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór jest ona równoważna do wspomnianego wzoru na tą średnią wyrażonej poprzez sumę statystyczną "Z", ale nie używają logarytmu naturalnego: Szablon:CentrujWzór A średnia kwadratu ilości cząstek w układzie wyrazimy przez sumę statystyczną naszego zespołu kanonicznego: Szablon:CentrujWzór A średnia kwadratu liczby cząstek układu wyrazimy przez sumę statystyczna naszego zespołu kanonicznego, i którą policzymy z definicji wartości średniej kwadratu liczby cząstek Szablon:LinkWzór i średniej liczby cząstek Szablon:LinkWzór, jakie układ statystyczny może przyjmować: Szablon:CentrujWzór Średni kwadrat fluktuacji bezwzględnej ilości cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym, które jak wyprowadziliśmy jest zależna liniowo od kwadratu temperatury bezwzględnej układu oraz liniowo od pochodnej cząstkowej średniej liczby cząstek względem temperatury bezwzględnej T panujących w naszym układzie. jest napisana: Szablon:CentrujWzór

Opis ruchów Browna przez Einsteina

Weźmy sobie ruchy Browna, którą będziemy obserwowali w jednym wymiarze, dla której znamy rozkład prawdopodobieństwo. Załóżmy, że w przedziale czasowym (t,t+τ) cząstka zmienia swoje położenie x do x+Δ. Niech mamy N cząstek w układzie, dla których dN cząstek przemieściło się z Δ +Δ+dΔ w przedziale czasowym (t, t+τ). Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że takie przesunięcie nastąpiło jest wyrażone poprzez: Szablon:CentrujWzór Prawdopodobieństwow względem małego przemieszczenia jest funkcją parzystą i spełnia warunek fSzablon:Sub(Δ)=fSzablon:Sub(-Δ) Całkowite prawdopodobieństwo określoną względem dowolnego przemieszczenia jest równe jedności i jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór Liczba cząstek, które w przedziale czasowym τ wyszły z przedziału dx piszemy według następującego przestawienia: Szablon:CentrujWzór Gdy przerwa dx w powyższym wyrażeniu Szablon:LinkWzór dąży do zera, zatem granica całki prawdopodobieństwa staje się zaniedbywalnie mała, wtedy praktycznie 100% cząstek ucieka z przedziału dx. Liczba cząstek znalezione w dx w chwili t+τ, które były tam w przedziale czasowym τ jest zapisane poprzez wzór: Szablon:CentrujWzór Rozłóżmy sobie w szereg Taylora prawą stronę względem Δ, a jego lewą stronę względem τ i w ten sposób otrzymujemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Pierwszy wyraz po prawej stronie jest równa jedności, a dla drugiego wyrazu ze względu na parzystość funkcji gęstości prawdopodobieństwa znika ona, i tylko pozostaje nam trzeci wyraz, bo dalsze wyrazy gwałtowanie maleją do zera dla Szablon:Formuła, zatem w ten sposób otrzymujemy równość: Szablon:CentrujWzór Stałą występujące we wzorze Szablon:LinkWzór, którą oznaczymy przez D, i określimy ją względem wielkości infinitezymalnej wielkości τ, którą możemy przepisać według: Szablon:CentrujWzór Przy definicji stałej D Szablon:LinkWzór dla równości Szablon:LinkWzór otrzymujemy stąd wniosek, która jest związkiem łączącym pierwszą pochodną koncentracji cząstek względem czasu z drugą pochodną koncentracji względem współrzędnej iksowej, który jest opisem ruchów Browna dany przez Einsteina: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy uogólnić z jednego do trzech wymiarach zastępując w powyższych x przez Szablon:Formuła, a całka pojedynczą przez całkę potrójną, i w ten sposób równość Szablon:LinkWzór po dokonaniu pewnych operacji według wcześniejszych wspomnień rozkładając go w szereg Taylora otrzymamy równość: Szablon:CentrujWzór Pierwsza całka występująca po jego prawej stronie jest równa jedności pomnożonej przez n(x,t), druga całka jest równa zero ze względu na parzystość funkcji gęstości prawdopodobieństwa, zatem dla ΔSzablon:Sub=ΔSzablon:Sub=ΔSzablon:Sub=Δ da nam w ostatecznych rozrachunkach: Szablon:CentrujWzór Wtedy definicja parametru D dla trzech wymiarów możemy przepisać go na podstawie Szablon:LinkWzór przy pomocy definicji definicji gęstości prawdopodobieństwa napisanej dla trzech wymiarów: Szablon:CentrujWzór Równanie opisujące w trzech wymiarach możemy przestawić, czyli Szablon:LinkWzór, przy definicji parametru D Szablon:LinkWzór, w postaci: Szablon:CentrujWzór

Związek współczynnika dyfuzji z temperaturą bezwzględną

Równanie ciągłości napisane w trzech wymiarach napisanej dla koncentracji cząstek powiązane z gęstością prądu piszemy: Szablon:CentrujWzór Pochodną czasową koncentracji cząstek piszemy przy pomocy równania Szablon:LinkWzór, które podstawiamy do tożsamości różniczkowej Szablon:LinkWzór i w ten sposób możemy otrzymać tożsamość na gęstość prądu: Szablon:CentrujWzór Cząstka poruszająca się w płynie osiąga stacjonarną gęstość dryfu proporcjonalne do działającej siły zewnętrznej, który tutaj przestawiamy poprzez współczynnik proporcjonalności η zwanej współczynnikiem ruchliwości: Szablon:CentrujWzór Gęstość dryfu Szablon:Formuła musi kompensować z gęstością dryfu Szablon:Formuła, który prowadzi do gradientu gęstości n, czyli te prądy muszą być w równowadze, co możemy napisać równość na tą równowagę wzorem: Szablon:CentrujWzór Jeśli do wzoru Szablon:LinkWzór podstawimy wzór na gęstość prądu płynu Szablon:LinkWzór i wzór na prędkość stacjonarnego dryfu Szablon:LinkWzór i wykorzystując do tego ostatniego wyrażenie siły poprzez gradient potencjału: Szablon:CentrujWzór Z drugiej jednak strony gęstość cząstek o energii potencjalnej Szablon:Formuła możemy wyrazić poprzez tą energię i wyrazić jego gradient, który podstawimy je do tożsamości Szablon:LinkWzór, koncentrację w zależności od energii potencjalnej cząstek i jego gradient możemy przestawić je w jednej linijce, które są wyrażone w zależności od położenia: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór Szablon:LinkWzór podstawiamy do tożsamości Szablon:LinkWzór i w ten sposób otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Współczynnik dyfuzji D występujący w prawie Szablon:LinkWzór, która jest równaniem dyfuzji wyprowadzonego przez Einsteina, przestawiamy w zależności od temperatury T i współczynnika ruchliwości η: Szablon:CentrujWzór

Szumy Nyquista i wyprowadzenie wzoru Nyquista

Termiczny ruch w metalach powoduje tzw. szumy Nyquista, tzn. są to fluktuację od średnich napięcia i natężenia płynącego prądu w metalach, i dla opornika możemy napisać średnią kwadratu odchylenia napięcia od kwadratu wartości średniej: Szablon:CentrujWzór Wynik Szablon:LinkWzór wiąże fluktuację napięcia z oporem i jest przykładem twierdzenia flutuacyjno-dyssypacyjnego. Weźmy sobie opornik o długości L i oporze R. Na końcach tego przewodnika jest umieszczony opornik R. W tym przewodniku rozchodzą się fale biegnące w przewodniku R, które są pochodzenia termicznego, które są absorbowane całkowicie bez odbić na obu jego końcach. Częstotliwość modu podstawowego, a także częstotliwość o modzie n, dla rozważanego przewodnika o długości L, przestawiamy je w jednej linijce: Szablon:ElastycznyWiersz Wiedząc, że częstotliwość kołowa ωSzablon:Sub jest związana z częstością νSzablon:Sub poprzez wzór ωSzablon:Sub=2πνSzablon:Sub, wtedy energię modu o numerze n możemy określić według rozkładu Bosego-Einsteina sposobem: Szablon:CentrujWzór Tutaj będziemy stosowali warunki na częstości kołowe Szablon:Formuła dla rozkładu Szablon:LinkWzór, dla którego stosując ten warunek, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Widzimy, że energia ESzablon:Sub nie zależy od numeru modu, zatem jeśli w szerokości Δν na podstawie Szablon:LinkWzór istnieje Δν/νSzablon:Sub modów, wtedy całkowita energia w naszym pasmie jest iloczynem liczby modów przez kSzablon:SubT, i jeśli jednocześnie zastosujemy wzór Szablon:LinkWzór do wzoru na całkowitą energię, wtedy tą wielkość określamy: Szablon:CentrujWzór W przewodniku rozchodzą się dwie fale biegnące w przeciwnych kierunkach normalna i odbita, wtedy całkowity czas z jakim jedną z tych fal biegnących przebyła odległość L, czyli przez jeden przewodnik, możemy obliczyć z definicji prędkości: Szablon:CentrujWzór Całkowita energia absorbowana przez jeden oporniki R, pochodząca od jednej fali biegnących w jednostce czasu określamy jako stosunek Szablon:LinkWzór przez podwojoną prędkość czasu Szablon:LinkWzór, jest ona wyrażona jako: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór rozpatrywaliśmy tylko jedną falę biegnącą w jednym kierunku. Z definicji energii traconej przez opornik w jednostce czasu określamy przez iloczyn kwadratu natężenia prądu i oporności odbiornika, co stosując jego definicję do Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Według rysunku obok napięcie mierzone na obu opornikach R jest wyrażone poprzez U=2IR, co stąd wynika, że I=U/2R, wtedy całkowita moc wydzielana przez oporność jest przepisana poprzez: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór możemy podstawić do tożsamości Szablon:LinkWzór, i na samym końcu otrzymujemy wzór Szablon:LinkWzór, który jest wzorem Nyquista.