Fale/Układy fizyczne, a jego drgania o wielu stopniach swobody
Szablon:SkomplikowanaStronaStart
Rozważmy układ o N stopniach swobody, której N może być nieskończone. Przy N skończonym układ ma n częstotliwości drgań normalnych, dla całego układu istnieje jednakowe przesunięcie kątowe. Dla przykładu weźmy stosunek amplitud o następujących stosunkach: Szablon:CentrujWzór To stosunek przesunięć drgań od położenia równowagi względem drgań podstawowych piszemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli układ fizyczny ma dużo elementów, to odległość pomiędzy nimi powinna być bardzo mała, praktycznie można powiedzieć, że ich odległość dąży do zera przy liczbie elementów dążących do nieskończoności, wtedy układ zachowuje się jak układ ciągły. Przesunięcia od położenia równowagi zapisujemy jako funkcja położenia (x,y,z) i czasu "t", którego zapis matematyczny jest ψ(x,y,z,t), która zastępuje przemieszczenia ψSzablon:Sub(t), ψSzablon:Sub(t), ψSzablon:Sub(t),,.., itd. dla osobnych elementów układu. Takie zachowanie się funkcji ψ nazywamy falami.
Drgania poprzeczne struny dyskretnej
Weźmy sobie ciała od 1 do N połączonych sprężynkami o znikomych masach, które spełniają prawo Hooka. Szablon:Rysunek Wraz rosnącymi numerami drgań postaci drgań swobodnych rośnie częstość kołowa drgań, a także rośnie siła kierująca powodująca te drgania. Dla postaci N=2 drgań swobodnych ma jeden węzeł. Na rysunku powyżej zaznaczono układy od jednego stopnia swobody do N-tego stopnia swobody. Dla N stopni swobody mamy N-1 węzłów. Kształt sprężymy ma charakter zygzakowaty dla największej postaci drgań, dla której każdy odcinek łączący masy przecina oś równowagi.
Drgania poprzeczne struny ciągłej
Załóżmy, że mamy N ciężarków połączonych ze sobą sprężynkami, których liczba N jest bardzo duża, powiedźmy, że wynosi N=1000000, których każdy z ciężarków wykonują drgania ψSzablon:Sub, ψSzablon:Sub, ψSzablon:Sub, itd.. , wtedy układ zachowuje się prawie jak ciągły. Zatem całkowite wychylenie od stanu równowagi w zależności od położenia ciężarków, a także od czasu, jest wyrażone: Szablon:CentrujWzór
Drgania podłużne i poprzeczne dla płaszczyźnie
Wybierzmy sobie drgania jednomiarowej struny dla drgań poprzecznych, której przemieszczenie dla naszego przypadku określamy: Szablon:CentrujWzór Drgania podłużne są wykonywane wzdłuż osi zetowej, a nas interesują drgania poprzeczne, co na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór możemy przepisać wzór na postać tychże drgań: Szablon:CentrujWzór
Polaryzacja struny ciągłej
Dokonajmy dalszych uproszczeń, i powiedźmy, że drania są wykonywane wzdłuż osi iksowej. Gęstość takiej struny jest równa ρ. A masa na odcinku Δx wyrażamy poprzez wzór: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Całkowita siła działająca na wycinek struny przy pomocy siły kierującej T wyrażamy przez: Szablon:CentrujWzór Chcemy wyrazić siłę FSzablon:Sub poprzez pochodne cząstkową wychylenia od stanu równowagi względem położenia zetowego małego odcinka struny przy działających siłach na jej prawy i lewy koniec argumenty, który zapis nachylenia w tymże punkcie jest:
- Szablon:Formuła, który jest równy tangensowi nachylenia struny względem osi z dla chwili t dla wycinka struny o położeniu z. Siłę Szablon:LinkWzór możemy przestawić przy pomocy wzoru:
Szablon:CentrujWzór Zdefiniujmy funkcję f(z) zależną od z jako pochodną cząstkową wielkości ψ(z,t) względem położenia z, którego definicja: Szablon:CentrujWzór Rozłóżmy funkcję Szablon:LinkWzór względem położenia wokół punktu zSzablon:Sub, wykorzystując szereg Taylora, by potem wyciąć z niego wyrazy więcej niż liniowe: Szablon:CentrujWzór Biorąc Δz=zSzablon:Sub-zSzablon:Sub, możemy napisać różnice funkcji f(z) w puntach zSzablon:Sub i zSzablon:Sub, którego różnica jest wprost proporcjonalna do drugiej pochodnej funkcji ψ względem położenia przy stałej proporcjonalności równej Δz: Szablon:CentrujWzór Wniosek wypływający z tożsamości Szablon:LinkWzór i wzoru Szablon:LinkWzór na definicję siły FSzablon:Sub jest taki: Szablon:CentrujWzór Zastosujmy teraz drugie prawo Newtona dla wycinka drgającej struny przy definicji siły FSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, który po skróceniu przez Δz otrzymujemy tożsamość robiąc te czynności po kolei: Szablon:CentrujWzór
Fale stojące drgającej struny
Załóżmy, że struna drga z jedną częstością kołową, wtedy mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi normalnymi. Równanie wychylenia struny od położenia równowagi określamy przez: Szablon:CentrujWzór Druga pochodna cząstkowa wyrażenia Szablon:LinkWzór względem czasu określamy jako wielkość wprost proporcjonalną do kwadratu częstotliwości kołowej drgań i do funkcji A(z): Szablon:CentrujWzór A druga pochodna funkcji Ψ(z,t) Szablon:LinkWzór względem położenia z wycinka struny ciągłej piszemy przez wzór poniżej, która jest zależna od drugiej pochodnej zupełnej wielkości A(z) względem czasu: Szablon:CentrujWzór Biorąc równanie różniczkowe falowe Szablon:LinkWzór i po podstawieniu do niego wzoru Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i skróceniu przez kosinus, którego argumentami są te same określone wyrażenia, co uzasadnia takie działanie: Szablon:CentrujWzór Rozwiązując równanie Szablon:LinkWzór dla oscylatora harmonicznego, których ogólna postać tych oscylacji jest kombinacją funkcji sinus i cosinus względem wyrażenia 2πz/λ, wtedy: Szablon:CentrujWzór A także możemy napisać wniosek wynikający z Szablon:LinkWzór, którą to możemy napisać jako druga pochodna zupełna względem położenia "z", która jest wprost proporcjonalna do funkcji A(z) i do odwrotności kwadratu długości fali kreślonej i to wszystko wziętej razem z minusem: Szablon:CentrujWzór Możemy porównać obie strony wzorów Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, a właściwie jej prawe strony, a lewe strony są takie same, do siebie, w ten sposób mamy tożsamość na prędkość fali, który jest pierwiastkiem z ilorazu siły kierującej TSzablon:Sub i gęstości liniowej masy dla tej opisywanej tutaj struny: Szablon:CentrujWzór
Fale stojące
Całkowita funkcja falowa opisujące fale jest funkcją przedstawiona na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, jest tutaj przedstawiona w jego pełnej postaci dla fali stojącej: Szablon:CentrujWzór
Warunki brzegowe
Rozwiązanie na funkcje stojące Szablon:LinkWzór nie zawiera w sobie warunków brzegowych, bo ono jest ogólnym rozwiązaniem, w taki sposób, by dla z=0 był jeden koniec strony a drugi koniec znajduje się dla z=L, wtedy drugi współczynnik zetowy stojący w nawiasie Szablon:LinkWzór jest równy zero dla zerowego wychylenia lewego końca, bo ten koniec jest zaczepiony, wtedy: Szablon:CentrujWzór Patrząc na tożsamość Szablon:LinkWzór dowiadujemy się, że stała B jest zawsze równa zero, co było udowodnienia. Równanie fali stojącej Szablon:LinkWzór możemy zapisać, na podstawie dowodu Szablon:LinkWzór, że stała B=0, jako: Szablon:CentrujWzór Aby dla prawego końca struny wychylenie dla fali stojącej Szablon:LinkWzór jest równe zero, czyli dla z=L, wtedy funkcja sinus powinna być równa zero, co matematycznie: Szablon:CentrujWzór Wykorzystując z własności funkcji sinus we równaniu Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy, że L powinno być całkowitą wielokrotnością z liczby λ/2, co można udowodnić przeprowadzając odpowiednie obliczenia: Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór pominęliśmy przypadek k=0, ponieważ wymagało to by zerową długość struny, lub gdy długość fali drgań była nieskończona. Dla k=1 warunek brzegowy wygląda Szablon:Formuła, a z warunku Szablon:LinkWzór i z definicji na stałą λSzablon:Sub dalsze wzory na długość fali λSzablon:Sub w zależności od k>1 zapisujemy: Szablon:CentrujWzór
Stosunki częstotliwości kołowych w drganiach harmonicznych
Szablon:Rysunek Częstotliwości ν poszczególnych drgań możemy napisać w zależności częstotliwości podstawowej νSzablon:Sub względem Szablon:LinkWzór w postaci wzorów: Szablon:CentrujWzór
Kątowa liczba falowa
Liczbę falowa nazywamy liczbę falową σ, która jest odwrotnością długości fali, a kątową liczbę falową nazywamy obiekt, która powstaje po pomnożeniu jego przez liczbę 2π, wtedy; Szablon:ElastycznyWiersz Równanie fali Szablon:LinkWzór możemy przestawić przy pomocy Szablon:LinkWzór lub Szablon:LinkWzór na kilka równoważnych sposobów: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór, który przestawia drgania struny z obiema końcami nieruchomymi, tzn. dla z=0 dla naszej funkcji warunek nieruchomego lewego końca jest automatycznie spełnione, a także dla z=L warunek prawego nieruchomego końca jest spełnione, gdy kątowa liczba falowa drgań spełnia warunki: Szablon:CentrujWzór lub w przestawieniu liczby falowej σ: Szablon:CentrujWzór
Związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością
Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór otrzymujemy wzór na związek dyspersyjny liczby falowej i częstotliwości ν: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór mnożymy obustronnie przez liczbę 2π i po wykorzystaniu definicji częstotliwości kołowej i kątowej liczby falowej: Szablon:CentrujWzór
Struny fortepianowe i jego związek dyspersyjny
Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej, czyli związku Szablon:Formuła w zależności od liczby kątowej przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Związek Szablon:LinkWzór jest bardzo podobny do związku Szablon:LinkWzór, tylko jest ta różnica, że jeśli struna jest idealnie giętka, to wtedy stała α jest w rzeczywistości jest równa zero, ale struna nie jest taka tak naprawdę, tzn. dla której w ogólności dla struny nie idealnie giętkiej nie zachodzą już zależności λSzablon:Sub=2L, λSzablon:Sub=1/2λSzablon:Sub, λSzablon:Sub=1/3λSzablon:Sub, itd. Częstości dla naszej struny nie tworzą tutaj ciągu harmonicznego νSzablon:Sub=2νSzablon:Sub, νSzablon:Sub=3νSzablon:Sub, itd., ponieważ powyższy związek dyspersyjny nie daje takiej zależności, ten ciąg otrzymujemy w granicy α dążącego do zera, tzn., wtedy gdy zachodzi związek λν=const.
Analiza Fouriera ogólnych drgań struny ciągłej
Ogólne wychylenie wycinka ciągłej struny przestawiamy jako sumę drgań prostych harmonicznych: Szablon:CentrujWzór
Analiza Fouriera struny drgań jako złożenie drgań harmonicznych
Każdą funkcję F(z) możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem zmiennej znając współczynniki ASzablon:Sub i BSzablon:Sub naszego szeregu dla naszej funkcji, której postać tego szeregu jest: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników Fouriera BSzablon:Sub i BSzablon:Sub, a także ASzablon:Sub, które wyznaczymy pamiętając przy tym, że zachodzi zSzablon:Sub=zSzablon:Sub+λ: Szablon:ElastycznyWiersz Szablon:ElastycznyWiersz Funkcję F(z) możemy obustronnie przecałkować względem zmiennej w przedziale (zSzablon:Sub,zSzablon:Sub), wykorzystując przy tym związek Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymać związek zawierający w sobie stałą BSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór
Wykorzystując fakty Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a także fakty w postaci całek Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać całki, napisane w przedziale (zSzablon:Sub,zSzablon:Sub), w których funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji F(z) i funkcji sinus lub kosinus z argumentu mkSzablon:Subz, całkowalną względem zmiennej "z", którego to przepisy w postaci już policzonych całek zapisujemy jako: Szablon:ElastycznyWiersz
Współczynniki Fouriera
Patrząc na wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać wzory na współczynniki szeregu Fouriera Szablon:LinkWzór dla funkcji F(z), tzn. wzory na współczynniki ASzablon:Sub, BSzablon:Sub: Szablon:ElastycznyWiersz
Fala prostokątna i jego analiza Fouriera
Szablon:Rysunek Rozpatrzmy teraz falę prostokątną, która jest falą periodyczną i patrząc na rysunek obok dowiadujemy się, że ona jest nieciągła dla z=0 i z=L. Wiec nie należy oczekiwać, że szereg Fouriera w pewnym przybliżeniu przestawi w miarę dokładnie falę prostokątna. Korzystając z Szablon:LinkWzór dowiadujemy się, że współczynniki BSzablon:Sub są równe zero, a współczynniki ASzablon:Sub istnieją tylko dla nieparzystych m. Aby to wykazać policzymy kolejno współczynniki na nasze współczynniki szeregu Fouriera, zatem wyznaczmy czemu jest równy na współczynnik BSzablon:Sub, którego definicja jest w punkcie Szablon:LinkWzór:
Szablon:CentrujWzór
i dalej policzymy współczynniki BSzablon:Sub, którego definicja jest w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór i dalej policzymy współczynniki ASzablon:Sub, którego definicja jest w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Jak widzimy, że współczynniki ASzablon:Sub Szablon:LinkWzór, BSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, BSzablon:Sub Szablon:LinkWzór są takie jak przypuszczaliśmy. Analiza Fouriera pokazuje, że impuls prostokątny możemy rozłożyć na fale harmoniczne, wykorzystując przy tym wzór na współczynnik BSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, na współczynnik BSzablon:Sub Szablon:LinkWzór i na samym końcu na współczynnik ASzablon:Sub Szablon:LinkWzór, wtedy zapisujemy nasz impuls w postaci szeregu Fouriera: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek
Fourierowska analiza okresowej funkcji zależnej od czasu
Funkcje okresowa zależna od czasu spełnia taki warunek, że dodanie do funkcji dla argumentu tSzablon:Sub okresu TSzablon:Sub, otrzymujemy tą samą funkcję bez tej dokonanej operacji, co matematycznie zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Funkcję zależną od czasu możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem czasu "t" do postaci: Szablon:CentrujWzór Mając funkcję okresową F(t) możemy rozłożyć tą funkcję w szereg Fouriera mając definicję współczynników Fouriera o postaciach: Szablon:ElastycznyWiersz
Drgania struny niejednorodnej
Zakładamy, że siła TSzablon:Sub działa w stanie równowagi, która jest zależna od zmiennej zetowej, którą piszemy wzorem Szablon:LinkWzór. Obierzmy sobie funkcję f(z), którego postać jest w zależności od tej siły i pierwszej pochodnej wychylenia od stanu równowagi dla drgań poprzecznych: Szablon:CentrujWzór Funkcję możemy rozłożyć w szereg Taylora Szablon:LinkWzór funkcję f(z) Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy, że siła FSzablon:Sub działająca na na bardzo mały wycinek struny niejednorodnej jest: Szablon:CentrujWzór Drugie prawo dynamiki Newtona dla naszego przypadku niejednorodnej struny, który piszemy wzorem poniżej, którą dzielimy przez długość małego wycinka struny Δz i przez gęstość tegoż wycinka ρ(z), wtedy: Szablon:CentrujWzór Niech fala będzie opisywana wzorem zależnym od amplitudy A(z) i części periodycznej cos(ωt+φ), piszemy: Szablon:CentrujWzór Dla drgań normalnych struny możemy napisać zależności jako drugą pochodną przemieszczenie względem czasu i pierwszą pochodną tego samego przemieszczenia względem położenia "z", która jak się okazuje jest wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej zupełnej funkcji A(z) względem położenia małego wycinka struny względem położenia, zatem te wielkości:
| Szablon:CentrujWzór | Szablon:CentrujWzór |
Mając fakty Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, co one możemy podstawić do wzoru Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymać równość różniczkową z pochodnymi zupełnymi zależnych od współrzędnej zetowej: Szablon:CentrujWzór
Drgania układu dyskretnego o N stopniach swobody
Szablon:Rysunek Rozpatrzmy układ w stanie równowagi składający się z N kulek o masach M połączonych sprężynkami napiętej w taki sposób, w których każda taka sprężynka działa na każdą kulkę z osobną z siłą TSzablon:Sub, układ składający się z sprężynek o pewnej stałej sprężystości i kulek o masach M ma długość L=(N+1)a.
Równanie ruchu struny dyskretnej
Wzór na siłę działająca na układ dyskretnym piszemy podobnie jak według wzoru Szablon:LinkWzór, tylko tam zamiast pochodnej występują różnice, zatem równanie ruchu w naszym przypadku piszemy: Szablon:CentrujWzór Obierzmy sobie ogólną postać wychylenia n-tej cząstki od położenia równowagi w postaci: Szablon:CentrujWzór Druga pochodna zupełna wyrażenia Szablon:LinkWzór względem czasu, która jest wprost proporcjonalna do amplitudy ASzablon:Sub i do kwadratu częstotliwości kołowej, i dalej mówiąc od funkcji kosinus, to wszystko wziętej z minusem, piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy w taki sposób napisać po wykorzystaniu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które to piszemy w zależności częstotliwości kołowej drgań, a także od amplitud zależnych od n, n+1 i n-1, który to końcowy rozważany wzór piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Rozpatrzmy tak jak w przypadku struny ciągłej, którego to dla struny na obu jego końcach naszej struny nie ma wychylenia od stanu równowagi, zatem amplitudę ASzablon:Sub możemy napisać w postaci: Szablon:CentrujWzór Zatem dzięki definicji amplitudy ASzablon:Sub według Szablon:LinkWzór wówczas możemy napisać następujące wzory na amplitudy ASzablon:Sub i ASzablon:Sub, co na samym końcu możemy policzyć różnicę amplitud dla n+1 i n-1, wtedy według wspomnianego wzoru możemy napisać trzy dalsze wzory: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Możemy wykorzystać końcowy związek Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymać wzór w ogólności dla niezerowego w ASzablon:Sub, który jest zależny od częstotliwości kołowej drgań i innych parametrów: Szablon:CentrujWzór We związku Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć kwadrat częstotliwości kołowej i w ten sposób otrzymać zależność od kątowej liczby falowej "k" lub też w zależności do liczby falowej λ: Szablon:CentrujWzór
Ogólna postać drgań i warunki brzegowe
Szablon:Rysunek Szablon:Rysunek Ogólną postać drgań ASzablon:Sub możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus z argumentu kna: Szablon:CentrujWzór Na lewym końcu wychylenie z położenia równowagi jest zerowe i wykorzystując fakt Szablon:LinkWzór dowiadujemy się, że B=0, w ten sposób otrzymujemy równość: Szablon:CentrujWzór Aby prawy koniec struny dyskretnej miał wychylenie dyskretne zerowe, to powinien zachodzić związek: Szablon:CentrujWzór Na rysunku obok zaznaczono zależność częstotliwości ω(k) od kątowej liczby falowej, którą tą zależność piszemy na podstawie Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór
Przejścia układu dyskretnego do granicy fal długich
Weźmy sobie fale o długości fali o wiele mniejszych niż zetowa odległość pomiędzy ciężarkami, tzn. a<<λ, co jest równoważne 2πa/λ<<1, wtedy możemy rozłożyć funkcję sinus w szereg Taylora w postaci: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór możemy wykorzystać rozwinięcie funkcji sin Szablon:LinkWzór, by w ten sposób napisać: Szablon:CentrujWzór
Drgania podłużne układu mas połączonych ze sobą sprężynkami
Szablon:Rysunek Równanie ruchu dla masy ściśle określonej zapisujemy względem wychylenia od stanu równowagi poszczególnych sprężynek ψSzablon:Sub, którego to przepis: Szablon:CentrujWzór równanie tego typu Szablon:LinkWzór było już rozwiązywane, zatem podajmy związek dyspersyjny łączący częstotliwość kołową z kątową liczbą falową, którego postać: Szablon:CentrujWzór Wychylenia poszczególnych mas dla drgań podłużnych możemy zapisać pod postacią funkcji: Szablon:CentrujWzór
Układ LC wzajemnie sprzężonych ze sobą cewek i kondensatorów
Szablon:Rysunek Patrząc na rysunek b) obok możemy napisać drugie prawo Kirchhoffa w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i wykorzystywać będziemy pierwsze prawo Kirchhoffa: Szablon:CentrujWzór Co Szablon:LinkWzór możemy zapisać równoważnie w postaci: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem, którego typ poznaliśmy wcześniej, którego związek dyspersyjny częstotliwości kołowej względem kątowej liczby falowej określamy: Szablon:CentrujWzór Równanie na natężenie prądu elektrycznego płynącego w obwodzie LC w poszczególnym oczku w cewce określamy przez: Szablon:CentrujWzór
Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek
Równanie ruchu n-tej masy dla układu sprzężonych ze sobą wahadeł matematycznych za pomocą sprężynek opisujemy: Szablon:CentrujWzór [{Rysunek|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek.jpeg|wk13|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek}} Równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem, którego typ jest już znany, czyli stąd możemy wyliczyć częstotliwość kołową drgań w zależności od liczby falowej: Szablon:CentrujWzór Jeśli w prowadzimy częstotliwość drgań wahadła matematycznego, którego kwadrat jest napisany w punkcie Szablon:LinkWzór, i je oznaczymy przez , wtedy nasz związek dyspersyjny Szablon:LinkWzór piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że związek Szablon:LinkWzór zależy od częstotliwości kołowej drgań podstawowych wahadła matematycznego ωSzablon:Sub, a także zależy od stałej sprężystości, masy kulek, a także od kątowej liczby falowej "k". Jeśli przyjmować będziemy , wtedy związek dyspersyjny Szablon:LinkWzór, przy założeniu ka<<1, zapisujemy w postaci przybliżonej: Szablon:CentrujWzór
Związek dyspersyjny dla plazmy
Wyprowadzimy tutaj związek dyspersyjny dotyczącej plazmy, który możemy przestawić jak się przekonamy od częstotliwości podstawowej ωSzablon:Sub, a także od długości światła. Wiemy, że kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy w postaci wzoru: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że pozostało na wyliczyć kwadrat częstotliwości podstawowej, tj. Szablon:Formuła, który wyprowadzimy w dalszych rozważaniach. Elektryczna obojętna plazma składa się z większości cząsteczek obojętnych i pewnej liczby cząsteczek zjonizowanych. Jonosfera ziemi składa się się z dużej ilości cząsteczek obojętnych NSzablon:Sub i OSzablon:Sub. Proces jonizacji tego gazu powodowany jest poprzez pochłoniecie promieniowania pochodzącego od słońca. Największą gęstość jonów zjonizowanych występuje przy odległości 200km do 400km nad powierzchnią ziemi. Przy niższych wysokościach proces jonizacji nie zachodzi ze względu na pochłonięcie promieniowania przez wyższe warstwy atmosfery, i dlatego na tej wysokości gęstość jonów i elektronów maleje do zera. Plazma jest elektrycznie obojętna i nie stanowi źródła pola elektrycznego, ale istnieją w niej warstwy zjonizowane na wskutek działania pola elektrycznego zewnętrznego, że dodatnie jony są przyspieszane w jedną stronę, a elektrony w drugą stronę. W skutek nadmiaru ładunku zostaje zlikwidowane do zera ładunek w wyniku ich przyciągania do siebie, czyli jony i elektrony. A bezwładność odciąga je od stanu równowagi powodując nowy nadmiar ładunku, a także niedobór ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego wyznaczamy z prawa Gausa, pamiętając przy okazji ze pole na zewnątrz takiego układu jest równe zero, przestawiamy je w zależności od powierzchni rozważanych okładek A: Szablon:Rysunek
Szablon:CentrujWzór Całkowity ładunek znajdujących się w grubości x plazmy przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i grubości warstwy przy pomocy wzoru: Szablon:CentrujWzór Równanie ruchu plazmy możemy przestawić w zależności od pola działającego ze strony pola w wewnątrz tej plazmy według mechaniki klasycznej: Szablon:CentrujWzór Wzór na natężenie pola iksowego elektrycznego ESzablon:Sub Szablon:LinkWzór i wzór na łądunek znajdujących się w plazmie Szablon:LinkWzór podstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór opisującą drugą zasadę dynamiki Newtona: Szablon:CentrujWzór Końcowe równanie Szablon:LinkWzór jest równaniem oscylatora harmonicznego, w której kwadrat częstotliwości kołowej drgań, która jest jednocześnie kwadratem częstotliwości podstawowej ωSzablon:Sub, który to przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i ich masy, jest: Szablon:CentrujWzór