Fale/Odbicie fal klasycznych

Całkowita siła działająca na falę by je wytworzyć jest wyrażona jako wielkość wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi i impedancji Z, którą wyrazimy wzorem Szablon:LinkWzór. Falę padającą możemy wyrazić przez Szablon:LinkWzór, którą tutaj przepiszemy: Szablon:CentrujWzór W punkcie z=0 fala padająca jest opisana wzorem Szablon:LinkWzór, którą możemy zapisać formułą: Szablon:CentrujWzór

Współczynnik odbicia

Oznaczmy ostatni punkt struny przez L, a amortyzator przez P, wtedy siła działająca ze strony amortyzatora na falę padającą i odbitą jest zapisana: Szablon:ElastycznyWiersz A więc całkowita siła działająca jednocześnie na falę odbitą i padającą jest sumą sił Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, i po prostu jest napisana: Szablon:CentrujWzór Fala odbita ψSzablon:Sub i padająca ψSzablon:Sub, której superpozycją jest fala ψ, której będziemy liczyli pochodną cząstkową względem czasu, można ją rozłożyć na sumę pochodnych cząstkowych względem czasu fali padającej i odbitej: Szablon:CentrujWzór Z drugiej jednak całkowita siła działająca ze strony oporu amortyzatora równa jest sile oporu amortyzatora na strunę, wtedy całkowita siła działająca na "falę" ψ,, dla którego impedancja jest wyrażona przez ZSzablon:Sub, jest wyrysowana: Szablon:CentrujWzór Siła Szablon:LinkWzór jest równa sile wyrażona troszeczkę w innej postaci Szablon:LinkWzór, wtedy przyrównując do siebie te siły, bo one oznaczają to samo, dostajemy wniosek: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór możemy napisać troszeczkę w innej postaci grupując wyrazy w nim występujące, by po lewej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenie od stanu równowagi fali odbitej względem czasu, a po prawej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenia fali padającej od stanu równowagi względem czasu, co to wszystko możemy wyrazić przez wzór: Szablon:CentrujWzór

Fale padająca i odbita, superpozycja tychże fal

W równanie ruchu Szablon:LinkWzór możemy przecałkować obie jego strony, w ten sposób otrzymamy wychylenie od stanu równowagi fali odbitej w zależności od amplitudy fali padającej: Szablon:CentrujWzór Współczynnik odbicia występującej we wzorze Szablon:LinkWzór nazywamy wielkość określaną: Szablon:CentrujWzór Fala odbita jest falą biegnącą w kierunku -z, której jej podstać dla z<0 otrzymujemy na podstawie jej związku dla z=0 zastępując zmienne z=0 i "t" zmiennymi "z", t+z/vSzablon:Sub, dla której vSzablon:Sub jest prędkością fazową fali. Wzór na falę odbitą piszemy przez: Szablon:CentrujWzór Całkowite przemieszenie poszczególnych części fali jest sumą fali padającej i odbitej wyrażony związkiem Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Przemieszczenia fali odbitej i padającej, a siła kierująca

Ogólnie siłą kierująca możemy wyrazić przez wzór zdefiniowany w punkcie Szablon:LinkWzór, która jak wiemy jest zależna od pierwszej pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia "z", która jest równa sile kierującej działającej ze strony sprężyny znajdującej się na lewo od punktu "z" na sprężynę ze strony prawej od tego punktu. Jak można udowodnić współczynnik odbicia pierwszej pochodnej przemieszczenia względem czasu dla tych fal jest taki sam jak dla samych przemieszczeń, a współczynnik odbicia dla pochodnej przemieszczeń względem położenia jest równy minus współczynnika odbicia przemieszczeń, który wyrażamy przy pomocy poprzednich rozważań równej Szablon:LinkWzór. Aby to wszystko udowodnić napiszmy poniższe rozważania.

Przemieszczenia fali padającej i odbitej wyrażamy przy pomocy wzoru Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Porównując wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dochodzimy do wniosku, że współczynnik proporcjonalności jest RSzablon:Sub. Wtedy możemy policzyć pochodne cząstkowe wychyleń względem czasu fali padającej Szablon:LinkWzór i odbitej Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Współczynnik proporcjonalności prędkości przemieszczeń między falą odbita i padającą jest to współczynnik napisany jako RSzablon:Sub. Pochodne cząstkowe przemieszczeń względem położenia danego elementu układu drgającego możemy napisać: Szablon:ElastycznyWiersz Porównując tożsamość Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór możemy dojść do wniosku, że współczynnik odbicia dla pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia określamy poprzez wzór: Szablon:CentrujWzór

Ciągłość parametrów fali na granicy dwóch ośrodków

Na granicy między dwoma ośrodkami prędkość, czyli pierwsza pochodna przemieszczenia względem czasu, a także siła kierująca (definicja Szablon:LinkWzór) są wielkościami ciągłymi na granicy dwóch ośrodków. Siła działająca na falę padająca i przechodzącą na tej granicy wziętej razem dwóch ośrodków jest wyrażana przez: Szablon:CentrujWzór Skokowi siły napinającej struny według Szablon:LinkWzór towarzyszy kant struny i w rezultacie nachylenie struny nie jest wielkością ciągłą. natomiast wielkością ciągłą jest iloczyn nachylenia struny i siły napinającej.

Współczynnik transmisji

Napiszmy teraz wzór, który określimy przy pomocy współczynnika odbicia R, która jest superpozycją fali padającej i odbitej dla ośrodka pierwszego, którą piszemy poprzez wzór: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór określa wielkości falowe, którymi mogą być przemieszczenie, prędkość, lub nawet siła kierująca, który nasz wspomniany wzór piszemy przy pomocy współczynnika odbicia R, który dla przemieszczeń i prędkości są wyrażane przez RSzablon:Sub. Fala rozchodząca się w ośrodku drugim z ośrodka pierwszego jest określana przy pomocy współczynnika transmisji T: Szablon:CentrujWzór Współczynnik transmisji możemy wyznaczyć dla z=0, wtedy następująca równość wielkości Szablon:LinkWzór z wielkością Szablon:LinkWzór piszemy według: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór możemy podstawić wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, by w ten sposób otrzymać tożsamość: Szablon:CentrujWzór Z równości Szablon:LinkWzór możemy otrzymać wzór na współczynnik transmisji, który jest sumą jedynki i współczynnika odbicia: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór R jest równe RSzablon:Sub, gdy φSzablon:Sub jest to przemieszczenie φ lub prędkością ∂ψ/∂ t, natomiast gdy jest równa -RSzablon:Sub, co wtedy mamy do czynienia z siła kierującą -T∂ψ/∂ z. (Uwaga: Symbol T jest używany zarówno do oznaczenia napięcia struny, jak i dla współczynnika transmisji).