Fale/Impulsy, paczki i modulacje fal

Dotychczas rozważaliśmy drgania, które były drganiami harmonicznymi o jednej tylko częstości ω. Dowiedzieliśmy, że superpozycja fal o jednakowych amplitudach, ale o prawie jednakowych częstościach kołowych prowadzi do zjawiska dudnień. Omówimy tutaj zjawisko dudnień powstałych z nakładania się wielu fal o zbliżonych amplitudach. Jak się okazuje, że fale mogą rozchodzić się z prędkością grupową niosąc ze sobą energię z tą właśnie prędkością.

Prędkość grupowa

Sumę dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, ale dla różnych liczb falowych i częstotliwości kołowych, piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Definicję częstotliwości modulowanej i liczby falowej modulowanej, a także ich odpowiedniki średnie rysujemy: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując powyższe definicję średniej częstotliwości kołowej i średniej liczby dwóch fal o zbliżonych częstościach, możemy określić jako sumę Szablon:LinkWzór w postaci zwartej z wyodrębnionymi amplitudami modulowanymi zależnych od częstotliwości i liczb falowych modulowanych, a także z wyodrębnioną częścią harmoniczną, która zależy od średniej częstotliwości i średniej liczby falowej, co te wszystkie wnioski określimy przez dwa poniższe wzory: Szablon:ElastycznyWiersz Funkcję fazową amplitudy Szablon:LinkWzór można napisać w takiej postaci, która po zróżniczkowaniu obu jego stron dla tej funkcji stałej, w ten sposób otrzymujemy wzór, z którego możemy wyznaczyć prędkość rozchodzenia się modulacji: Szablon:CentrujWzór Prędkość modulacji możemy rozłożyć w szereg Taylora, w ten sposób dowiadujemy się, że prędkość rozchodzenia się modulacji, która jest ilorazem różnicowym częstotliwości kołowej i liczby falowej k, jest ona w przybliżeniu równa pochodnej zupełnej częstotliwości kołowej względem liczby falowej: Szablon:CentrujWzór Na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór możemy określić prędkość grupową, którą nazywamy pochodną zupełną częstotliwości kołowej względem liczby falowej: Szablon:CentrujWzór

Składanie się fal o prostokątnym rozkładzie widmowym

Superpozycja N fal, których amplitudy są jednakowe, ale o częstościach kołowych równomiernie rozłożonych pomiędzy częstościami ωSzablon:Sub, a ωSzablon:Sub, których ta całkowita fala ψ(t) jest zdefiniowana: Szablon:CentrujWzór Wielkość δω jest tak zdefiniowana w taki sposób jako iloraz różnicy częstotliwości kołowych ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub podzielonej przez N-1, co matematycznie: Szablon:CentrujWzór Najlepszym sposobem jest przestawienie sumy drgań harmonicznych Szablon:LinkWzór przy pomocy funkcji eksponencjalnych, których częścią rzeczywistą jest ta nasza rozważana suma drgań harmonicznych Szablon:LinkWzór, którego przestawienie jest: Szablon:CentrujWzór Funkcja Szablon:LinkWzór jest szeregiem geometrycznym o ilorazie exp(-δωt), wtedy zapisujemy go w postaci zwartej: Szablon:CentrujWzór Całkowita funkcja falowa zapisana w postaci zwartej Szablon:LinkWzór jest częścią rzeczywistą obliczeń napisaną w punkcie Szablon:LinkWzór, którą rysujemy w postaci funkcji zależnej od czasu "t", częstotliwości średniej drgań ωSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Amplituda fali ψ(t), występująca we wzorze Szablon:LinkWzór jest zależna od czasu i jest napisana przy pomocy funkcji sinus, która występuje w mianowniku i liczniku, której licznik jest zależny od liczby przegród, jest wykreślona: Szablon:CentrujWzór Gdy N=2, wtedy równość na funkcję ψ(t) Szablon:LinkWzór, którą definiujemy zamienieniając 1/2ωt przez zmienną x, wtedy mamy: Szablon:CentrujWzór Wzór na funkcję ψ(t) dla N=2 otrzymaliśmy jak w punkcie Szablon:LinkWzór, co jest zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Przy liczeniu funkcji Szablon:LinkWzór dla t=0 należy się dokładnie przyjrzeć, bo licznik i mianownik tego wyrażenia jest równy zero, wtedy należy dokonać zamiany zmiennych według ${}_{\theta =\frac{1}{2}\delta \omega t}$, i obliczyć granicę wykorzystując wiadomości o granicach z analizy matematycznej. Szablon:CentrujWzór Amplitudę Szablon:LinkWzór możemy przestawić jako funkcję A(t) przy A=A(0)/N, dla którego tą wielkość piszemy: Szablon:CentrujWzór Przejdźmy teraz do granicy, dla którego N jest bardzo duże, wtedy odstępy pomiędzy składowymi drgań harmonicznych δω są na tyle małe, że ich doświadczalnie nie możemy rozróżnić, wtedy mamy doczynienia z fizyką, a nie z matematyką. Amplitudę Szablon:LinkWzór możemy napisać dla warunku δω bardzo małego i przy zachodzącej tożsamości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wychylenie od stanu równowagi Szablon:LinkWzór jako superpozycja N fal harmonicznych, przy wykorzystaniu Szablon:LinkWzór, piszemy jako: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór możemy zapisać w postaci całkowej, przy założeniu, że δω jest bardzo małe, praktycznie zerowe, jako całkę od ω=ωSzablon:Sub, aż do ω=ωSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór

Szereg Fouriera liczona względem czasu

Szeregiem Fouriera nazywamy takie wyrażenie, której każdą funkcję F(t) możemy rozłożyć ten nasz szereg, którego postać jest zależna od współczynników BSzablon:Sub i współczynników zależnych od n, czyli od ASzablon:Sub i od BSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Wówczas jak możemy udowodnić, że współczynniki ASzablon:Sub i BSzablon:Sub możemy napisać przy pomocy funkcji F(t), jak to robiliśmy też dla szeregu Fouriera zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór, tylko tam była definicja względem liczby falowej, a tutaj względem częstotliwości kołowej: Szablon:ElastycznyWiersz

Przejście od szeregu Fouriera w jej postać całkową

Rozważmy kilka pierwszych wyrazów w szeregu Fouriera, tzn. ASzablon:SubsinωSzablon:Subt+BSzablon:SubcosωSzablon:Subt, ASzablon:SubsinωSzablon:Subt+BSzablon:SubcosωSzablon:Subt. Pierwsze wyrazy są tak małe w podanych wyrazach, że można je zaniedbać. Widzimy, że TSzablon:Sub, która jest okresem. Sztucznie utworzona funkcja zależy od naszego okresu, więc ten okres możemy zwiększać o dowolną wielokrotność, zatem okres TSzablon:Sub jest dowolny, to częstotliwość kołową ωSzablon:Sub=2π/TSzablon:Sub możemy dowolnie zmniejszać. W gruncie rzeczy TSzablon:Sub możemy wziąć na tyle duże by wyrazy ASzablon:Sub i BSzablon:Sub można było zaniedbać. Rozważmy n na tyle duże by nie można było zaniedbać współczynników ASzablon:Sub , BSzablon:Sub, wtedy szereg Szablon:LinkWzór możemy zapisać biorąc jak na razie dla uproszczenia wyrazy z sinusami: Szablon:CentrujWzór Obierzmy sobie teraz funkcję ω zmiennej n i ωSzablon:Sub, która jest iloczynem liczby n i częstotliwości ω: Szablon:CentrujWzór Niech przyrost δω będzie taki, że różniczka z n jest ilorazem z delty częstotliwości kołowej ω przez częstotliwość ωSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że w pasmie n do n+δ n wszystkie współczynniki ASzablon:Sub są sobie równe, wtedy wszystkie te wyrazy możemy przegrupować względem tychże współczynników, by później było można napisać: Szablon:CentrujWzór W końcu na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór możemy napisać całkę Fouriera, którego postać piszemy względem współczynników A(ω) i B(ω) (powyżej było przyjęte, że B(ω)=0, a poniżej jest dla różnego od zera dla ogólności), której ogólna postać naszej całki: Szablon:CentrujWzór Na podstawie definicji współczynnika ASzablon:Sub Szablon:LinkWzór i BSzablon:SubSzablon:LinkWzór, a także z własności ωSzablon:SubTSzablon:Sub=2π, a także będziemy przyjmować tSzablon:Sub=-∞, a TSzablon:Sub=∞, wtedy możemy napisać definicję współczynników A(ω) i B(ω) przy wcześniejszych poczynionych uwagach: Szablon:ElastycznyWiersz

Całki Fouriera dla tłumionego oscylatora tłumionego

Wychylenie od stanu równowagi dla tłumionego oscylatora od stanu równowagi przy zerowym przesunięciu fazowym przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Wtedy patrząc na tożsamość Szablon:LinkWzór możemy napisać tożsamość wiążąca częstotliwość drgań tłumionych ωSzablon:Sub względem drgań harmonicznych podstawowych i współczynnika tłumionego, z którego skorzystamy w dalszym kroku obliczeń. Policzmy tutaj dwie całki poniższe, które będą nam bardzo potrzebne w dalszych rozważaniach: Szablon:CentrujWzór Dalej policzmy drugą z kolei całkę: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz współczynnik A(ω) według wzoru Szablon:LinkWzór występującego jako współczynnik we wzorze Szablon:LinkWzór korzystując przy tym z tożsamości fizycznej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest policzenie B(ω) według wzoru Szablon:LinkWzór występujące jako współczynnik we Szablon:LinkWzór wykorzystując przy tym z tożsamości fizycznej Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wielkość I(ω), która jest sumą kwadratów wielkości 2πA(ω)Szablon:LinkWzór i 2πB(ω)Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym

Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym dla fal dyspersyjnych dla z=0 piszemy w postaci zależnej od częstotliwości kołowej: Szablon:CentrujWzór Dla k≠0 całkę Fouriera możemy przestawić w zależności od liczby falowej, która z kolei zależy od liczby falowej dla fal biegnących, co można uzyskać zamieniając zmienną "t" na primowane, i podstawiając dalej za t' w tożsamości Szablon:LinkWzór wyrażenie t-z/v i pamiętając, że ψ(0,t')=ψ(z,t): Szablon:CentrujWzór Wykorzystajmy definicję prędkości fazowej, którego definicja jest podana w punkcie Szablon:LinkWzór, wtedy równość Szablon:LinkWzór dla liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej możemy przepisać do: Szablon:CentrujWzór

Klasyczne równanie falowe a fale ulegające dyspersji

Załóżmy, że mamy wychylenie od stanu równowagi, którego równanie piszemy przy pomocy częstotliwości drgań ω, liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej k(ω): Szablon:CentrujWzór Równanie falowe różniczkowe, którego rozwiązaniem jest Szablon:LinkWzór, jest w postaci zależnej od prędkości fazowej, którego z kolei zależy od częstotliwości kołowej, możemy otrzymać licząc drugie pochodne wychylenia naszego przemieszczenia względem czasu i położenia: Szablon:ElastycznyWiersz Równości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór porównujemy je względem siebie, w ten sposób otrzymujemy wzór na równanie falowe zależne od drugich pochodnych przemieszczenia ψ względem czasu i położenia "z": Szablon:CentrujWzór Do równości Szablon:LinkWzór wykorzystamy definicję prędkości fazowej Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe, które jest zależne od prędkości fazowej, a która z kolei zależy od częstotliwości kołowej lub mówiąc równoważnie od liczby falowej, bo we związku dyspersyjnym częstotliwość jest zależna od liczby falowej: Szablon:CentrujWzór