Fale/Fale w mechanice kwantowej i elektrodynamice klasycznej

Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej

Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny HSzablon:Sub, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |ψSzablon:Sub|Szablon:Sup=1, |ψSzablon:Sub|Szablon:Sup=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": Szablon:ElastycznyWiersz

• gdzie ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub są częstościami postaci drgań normalnych.

Równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są kolejno bardzo podobne do Szablon:LinkWzór i do Szablon:LinkWzór. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością ωSzablon:Sub>ωSzablon:Sub niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stany 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień νSzablon:Sub-νSzablon:Sub, która ma wartość Szablon:Formuła, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego.

Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów

Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów Szablon:Formuła i Szablon:Formuła, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony π, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami Szablon:Formuła, Szablon:Formuła. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: Szablon:ElastycznyWiersz

Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a

Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości ω przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: Szablon:CentrujWzór Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): Szablon:CentrujWzór Ze związku Szablon:LinkWzór otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową ψ(z,t) Szablon:LinkWzór możemy określić: Szablon:CentrujWzór Jeśli jeszcze raz podstawimy Szablon:LinkWzór do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej ω w zależności od liczby falowej k: Szablon:CentrujWzór

Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej

Mając związek w postaci funkcji falowej Szablon:LinkWzór, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja Szablon:LinkWzór była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: Szablon:CentrujWzór Unormujmy funkcję Szablon:LinkWzór do jedynki licząc całkę z kwadratu modułu Szablon:LinkWzór wykorzystując warunki brzegowe Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ostateczną funkcję falową Szablon:LinkWzór na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem Szablon:LinkWzór, który wynika z Szablon:LinkWzór, jest: Szablon:CentrujWzór

Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny

Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do Szablon:LinkWzór wzór: Szablon:CentrujWzór W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny Szablon:LinkWzór równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe TSzablon:Sub(z)=TSzablon:Sub, powstałe po podstawieniu funkcji falowej Szablon:LinkWzór, jest: Szablon:CentrujWzór

Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej

Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie nie może przeniknąć jest określona przez: Szablon:CentrujWzór Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy podstawiając do Szablon:LinkWzór zależności Szablon:Formuła i Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór

Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej

W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem Szablon:LinkWzór dla małych współczynników wygaszania, jest: Szablon:CentrujWzór W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania χ: Szablon:CentrujWzór

Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności

Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej Szablon:LinkWzór, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: Szablon:ElastycznyWiersz Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku: Szablon:CentrujWzór Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania Szablon:LinkWzór względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej Szablon:LinkWzór i według mechaniki relatywistycznej Szablon:LinkWzór prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki.

Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego

Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej ω i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia Szablon:LinkWzór względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej ψ(z,t): Szablon:CentrujWzór A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej Szablon:LinkWzór, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej ψ(z,t): Szablon:CentrujWzór Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki Szablon:LinkWzór i podstawimy do niego wzór na energię równą Szablon:Formuła i na pęd Szablon:Formuła, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z Szablon:LinkWzór i na kwadrat liczby falowej wynikającego z Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór Szablon:LinkWzór, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: Szablon:CentrujWzór Równanie falowe Szablon:LinkWzór dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c".

Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej

Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia Szablon:LinkWzór, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej Szablon:LinkWzór, czyli funkcji Szablon:LinkWzór, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej Szablon:LinkWzór, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: Szablon:CentrujWzór Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych ωSzablon:Sub i ωSzablon:Sub i amplitud ASzablon:Sub i ASzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru Szablon:LinkWzór z częstością dudnień ωSzablon:Sub-ωSzablon:Sub, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową.

Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych

Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej ωSzablon:Sub i o przesunięciu fazowym φSzablon:Sub, a druga fala jest o częstości ωSzablon:Sub i o przesunięciu fazowym φSzablon:Sub, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: Szablon:CentrujWzór Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej Szablon:LinkWzór możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: Szablon:CentrujWzór Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości Szablon:LinkWzór dla zespolonego natężenia fali Szablon:LinkWzór, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą ωSzablon:Sub-ωSzablon:Sub, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według νSzablon:Sub-νSzablon:Sub, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: Szablon:ElastycznyWiersz

Czemu niebo jest jasne

W rozdziale "Czemu niebo jest niebieskawe" rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90Szablon:Sup możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera Szablon:Formuła cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90Szablon:Sup. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90Szablon:Sup przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy.

Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek Szablon:Formuła, a w obszarze dwa przyczynek Szablon:Formuła, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest Szablon:Formuła, a w obszarze drugim jest Szablon:Formuła, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić Szablon:Formuła, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: Szablon:CentrujWzór Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: Szablon:CentrujWzór A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: Szablon:CentrujWzór Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę Szablon:LinkWzór i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim Szablon:LinkWzór, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: Szablon:CentrujWzór We wzorze nSzablon:Sub jest raz mniejsze, a za drugim większe od nSzablon:Sub, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90Szablon:Sup. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: Szablon:CentrujWzór Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest Szablon:Formuła, a w drugim obszarze jest Szablon:Formuła, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości nSzablon:Sub jest Szablon:Formuła, a także średnia liczba cząsteczek nSzablon:Sub jest równa Szablon:Formuła, wtedy można napisać: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie Szablon:LinkWzór, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: Szablon:CentrujWzór Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: Szablon:ElastycznyWiersz Biorąc wnioski Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, a także wniosek Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy Szablon:LinkWzór możemy zapisać do postaci: Szablon:CentrujWzór Dla wody warunki Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: Szablon:ElastycznyWiersz Patrząc na warunek Szablon:LinkWzór, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, natomiast dla wody odpowiada warunek: Szablon:CentrujWzór

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych

Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych

Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: Szablon:CentrujWzór Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego Szablon:Formuła i indukcji pola magnetycznego Szablon:Formuła. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja Szablon:Formuła ma kierunek wzdłuż wektora $\overrightarrow{E}$, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej Szablon:Formuła. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: Szablon:CentrujWzór Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu Szablon:LinkWzór możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: Szablon:ElastycznyWiersz Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są napisane: Szablon:ElastycznyWiersz Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Uogólnienie wniosku Szablon:LinkWzór dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej ω: Szablon:CentrujWzór W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez ESzablon:Sub i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90Szablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: Szablon:CentrujWzór wtedy polaryzację wyrażoną wzorem Szablon:LinkWzór przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego Szablon:LinkWzór możemy przepisać: Szablon:CentrujWzór

Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej

Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą Szablon:Formuła. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą Szablon:Formuła, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: Szablon:CentrujWzór Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu Szablon:LinkWzór, jest: Szablon:CentrujWzór Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną ESzablon:Sub i amplitudę absorpcyjną ASzablon:Sub, piszemy: Szablon:CentrujWzór Amplitudę absorpcyjną ASzablon:Sub i elastyczną ASzablon:Sub, które już określaliśmy dla FSzablon:Sub=qESzablon:Sub w punktach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: Szablon:ElastycznyWiersz Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku Szablon:LinkWzór przy definicji natężenia fali pola elektrycznego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Możemy porównać wzory Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: Szablon:ElastycznyWiersz

Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej

Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: Szablon:CentrujWzór Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej ω wedle: Szablon:CentrujWzór Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: Szablon:CentrujWzór wtedy zapis polaryzacji zespolonej Szablon:LinkWzór przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej Szablon:LinkWzór i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego Szablon:LinkWzór prowadzi do: Szablon:CentrujWzór Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną Szablon:LinkWzór jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór Szablon:LinkWzór, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej Szablon:LinkWzór jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami.

Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna

Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do Szablon:LinkWzór, przy definicji podatności elektrycznej równą Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych

Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do Szablon:LinkWzór, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: Szablon:CentrujWzór Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=xSzablon:SubeSzablon:Sup, wtedy podstawiając to do Szablon:LinkWzór i pamiętając przy tym Szablon:Formuła, i Szablon:Formuła, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem Szablon:LinkWzór przy definicji amplitudy elastycznej ASzablon:Sub Szablon:LinkWzór i absorpcyjnej ASzablon:Sub Szablon:LinkWzór. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z Szablon:LinkWzór, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej Szablon:LinkWzór do zapisania tej wielkości: Szablon:CentrujWzór Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do Szablon:LinkWzór wzór: Szablon:CentrujWzór Jak można wykazać, wzór Szablon:LinkWzór jest równoważny ze wzorem Szablon:LinkWzór, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne.

Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego

Szablon:Tabelka Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne.

Równanie falowe

Mnożymy obustronnie lewostronnie przez Szablon:Formuła wzór Szablon:LinkWzór, dalej po skorzystaniu ze wzoru Szablon:LinkWzór, w ostateczności otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez Szablon:Formuła wzór Szablon:LinkWzór, dalej po skorzystaniu ze wzoru Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. Szablon:CentrujWzór Jeśli skorzystamy z tożsamości Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: Szablon:CentrujWzór dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: Szablon:CentrujWzór Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy Szablon:LinkWzór możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: Szablon:CentrujWzór Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: Szablon:CentrujWzór Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do Szablon:LinkWzór, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu.

Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej

Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: Szablon:ElastycznyWiersz Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: Szablon:ElastycznyWiersz Równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: Szablon:CentrujWzór Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v.

Współczynnik transmisji i odbicia

Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia RSzablon:Sub, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: Szablon:ElastycznyWiersz Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: Szablon:ElastycznyWiersz Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia RSzablon:Sub i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór. A także w wyniku tożsamości Szablon:Formuła, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór dla tego samego "z", możemy zapisać: Szablon:ElastycznyWiersz Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy definicje impedancji Szablon:LinkWzór, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: Szablon:CentrujWzór Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. nSzablon:Sub=1, wtedy współczynnik odbicia Szablon:LinkWzór, przy definicji impedancji Szablon:LinkWzór, jest równy: Szablon:CentrujWzór Jeśli w współczynniku odbicia RSzablon:Subpodstawimy współczynnik załamania przez n=nSzablon:Sub+inSzablon:Sub dla współczynnika załamania nSzablon:Sub równy jeden i dla współczynnika załamania nSzablon:Sub równą po prostu n. Wtedy można przedstawić RSzablon:Sub i jego kwadrat modułu w jednej linijce: Szablon:ElastycznyWiersz

Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego

Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: Szablon:CentrujWzór Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to Szablon:LinkWzór możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy przepisać w sposób przybliżony: Szablon:CentrujWzór

Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna

Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla Γ>>ω, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny ASzablon:Sub jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: Szablon:CentrujWzór Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: Szablon:CentrujWzór Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: Szablon:CentrujWzór Z posługiwania się tożsamością Szablon:LinkWzór możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: Szablon:CentrujWzór Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Gdy wybierzemy przykład ω<<Γ, wtedy zespoloną podatność elektryczną Szablon:LinkWzór i zespoloną przewodność elektryczną Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:ElastycznyWiersz Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: Szablon:CentrujWzór

Rozrzedzony ośrodek oporowy

Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: Szablon:CentrujWzór wtedy współczynnik załamania światła Szablon:LinkWzór jest napisany: Szablon:CentrujWzór Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując Szablon:LinkWzór przy użyciu definicji kwadratu ωSzablon:Sub i definicji przewodności elektrycznej σ Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Część urojona liczby falowej Szablon:LinkWzór powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez eSzablon:Sup, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do eSzablon:Sup. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k))Szablon:Sup, gdzie Szablon:Formuła jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się Szablon:Formuła razy względem zmiennej Szablon:Formuła, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: Szablon:CentrujWzór Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia Szablon:LinkWzór określamy poprzez: Szablon:CentrujWzór Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia Szablon:LinkWzór podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

Gęsty ośrodek oporowy

W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: Szablon:CentrujWzór Biorąc wzór na współczynnik załamania n Szablon:LinkWzór skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. Szablon:Formuła, co odpowiada Szablon:Formuła, by potem było można oczywiście powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór i przy skorzystaniu Szablon:LinkWzór, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: Szablon:CentrujWzór Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania Szablon:LinkWzór możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: Szablon:CentrujWzór Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie.

Całkowicie elastyczny obszar częstości

Weźmy sobie równanie Szablon:LinkWzór przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną eSzablon:Sup: Szablon:CentrujWzór Rozwiązanie równania Szablon:LinkWzór w postaci funkcji prędkości dla ω>>Γ jest funkcją zależną od ESzablon:Sub, częstotliwości kołowej ω, masy ładunku i ładunku o wartości "q": Szablon:CentrujWzór Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o ±90Szablon:Sup, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według Szablon:LinkWzór (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz

Przedział dla częstości dyspersyjnych

Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: Szablon:CentrujWzór Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania Szablon:LinkWzór można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: Szablon:CentrujWzór Widzimy na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej Szablon:LinkWzór jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia Szablon:LinkWzór.

Przedział dla częstości reaktywnych

Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: Szablon:CentrujWzór wtedy na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór zachodzi warunek: Szablon:CentrujWzór Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie Szablon:LinkWzór możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: Szablon:CentrujWzór Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania Szablon:LinkWzór podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: Szablon:CentrujWzór Patrząc na Szablon:LinkWzór, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania Szablon:LinkWzór, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: Szablon:CentrujWzór