Fale/Dyfrakcja jako superpozycja bardzo dużej liczby fal

Będziemy się tutaj zajmować zjawiskiem interferencji lub dyfrakcji. Zjawiskiem dyfrakcji nazywamy takie nakładanie się fal w wyniku superpozycji, która powstaje na detektorze w przypadku dojścia tam fali wytworzonych przez dwa źródła lub dwie szczeliny, które natomiast są pobudzone do wytwarzania tychże fal przez pewne prawdziwe źródło fal, jakie może być na przykład żarówka.

Superpozycja nakładania się dwóch lub więcej źródeł fal spójnych

Źródłami spójnymi w przypadku dwóch źródeł wytwarzających dwie fale, nazywamy falę, gdy różnica faz jest wielkością niezależną od czasu, co jest jedyne możliwe, gdy mamy doczynienia z falami o jednakowych częstotliwościach kołowych. Interferencją konstruktywną nazywamy falę wyniku nakładania się maksimów lub minimum tychże fal. A wynik interferencji dekonstruktywnej nazywamy takie nakładanie się dwóch fal, które powstaje wyniku nakładania się doliny pierwszej fali z grzbietem drugiej fali. Obraz interferencyjny nazywamy obraz, który powstaje w wyniku obszarów maksimum i minimum, który powstaje na detektorze. Jeśli będziemy rozpatrywać nakładanie się dwóch fal pochodzących od dalekich źródeł, wtedy mówimy, że detektor jest w dalekim polu źródeł. Szablon:Rysunek Z rysunku obok wynika z definicji trójkąta prostokątnego: Szablon:CentrujWzór Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia znanego z algebry dla różnicy kwadratów, co można napisać wzór wynikający z Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Interesuje nas przypadek, gdy LSzablon:Sub i LSzablon:Sub są prawie równe, ale ich różnica nie przekracza Szablon:Formuła, wtedy obliczenia Szablon:LinkWzór można dokończyć przy naszych dysputach według schematu: Szablon:CentrujWzór Patrząc na wzór Szablon:LinkWzór można napisać, że przybliżenie dalekiego pola mamy, gdy iloczyn odległości do detektora od źródła fal przez długość fali światła jest równa w przybliżeniu kwadratowi odległości między dwoma źródłami, co piszemy: Szablon:CentrujWzór

Źródło pola elektromagnetycznego fali podłużnej

Gdy fala jest wytwarzana przez oscylujący ładunek, która jak wiadomo porusza się z przyspieszeniem zależnych od czasu w postaci drgań harmonicznych tego ładunku, to fala elektromagnetyczna pola elektrycznego wykorzystując wzór Szablon:LinkWzór jest napisana w zależności od czasu: Szablon:CentrujWzór Widzimy na podstawie Szablon:LinkWzór dla fali pola elektrycznego, która jest falą z pewną amplitudą, jest: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli mamy N źródeł, to koleino oznaczamy natężenie fali pola elektrycznego przy pomocy wskaźnika jeden lub dwa, aż do N.

Różnica faz spowodowana różnicą dróg optycznych

Widzimy, że według rysunku obok różnica między promieniem rSzablon:Sub, a rSzablon:Sub jest równa Δs, i jest wyrażona względem odległości dwóch szczelin i kąta pomiędzy poziomem, a promieniem pierwszym lub drugim, bo ten kąt dla promienia pierwszego i drugiego jest jednakowy: Szablon:CentrujWzór Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, zapisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór

Równanie interferencyjne dla dwóch szczelin

Weźmy sobie teraz sobie falę płaską wytwarzaną przez źródło pierwsze jak i drugie, która jest falą pola elektrycznego, przy założeniu, że te dwie fale wytwarzane są przez dwa źródła o takiej samej częstotliwości i przesunięciu fazowym, dodajmy te dwie fale do siebie w wyniku superpozycji tychże fal daleko od źródła fal, otrzymujemy stąd wniosek: Szablon:CentrujWzór Aby wystąpiły maksima fali w wyniku interferencji dwóch fal i w wyniku tego drugi czynnik musi być równy plus jeden lub minus jeden, co jest możliwe gdy: Szablon:CentrujWzór Fala napisana wzorem Szablon:LinkWzór, aby przyjmowała wartość zero, czyli wtedy natężenie pola elektrycznego jest równe zero, to musi być spełnione: Szablon:CentrujWzór

Warunek spójności dwóch źródeł

Szablon:Rysunek Wykażemy tutaj, że jeśli mamy źródła fal a,b,c, to wtedy działa ono jako efektywne punktowe źródło światła, jeśli jest spełniony pewien warunek, który mamy zamiar wyprowadzić. Według rysunku obok możemy powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór dla n=1, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór W rzeczywistości d możemy być on wiele mniejsze niż to wynika z równania końcowego Szablon:LinkWzór, zatem nasz warunek na spójność wielu źródeł piszemy: Szablon:CentrujWzór

Obraz pojedynczej szczeliny w obrazie dyfrakcyjnym

Posłużmy się teraz konstrukcją Huygensa, którą zastępujemy falę od odległego źródła falą płaską, która pada na N szczelin, w których mamy oscylujące ładunki, które wytwarzają fale kuliste, którego natężenie fali jest opisane w przestrzeni rzeczywistej, mamy: Szablon:CentrujWzór Superpozycję fali zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór możemy również zapisać w postaci zespolonej w przestrzeni zespolonej przy pomocy eksponentów, którego odpowiednik wspomnianego równania jest: Szablon:CentrujWzór Poszczególne odległości rSzablon:Sub, rSzablon:Sub,..,rSzablon:Sub piszemy w zależności od ilości N szczelin, kąta padania θ i odległości między szczelinami: Szablon:CentrujWzór Wzory Szablon:LinkWzór wsadzamy do tożsamości Szablon:LinkWzór, stąd w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy; Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzoru na zwartą sumę szeregu geometrycznego, który ma iloraz Szablon:Formuła, w ten sposób Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

Przykład ciągły nieskończenie wielu szczelin na odległości D

Weźmy sobie N szczelin, których liczba jest nieskończona przy stałym D przy d dążących do zero, zatem w takim przypadku mamy prawo powiedzieć na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór, że wypadkową amplitudę piszemy jako: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Całkowite przemieszczenie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór i na podstawie definicji naszego przemieszczenia Szablon:LinkWzór jest określone: Szablon:CentrujWzór Według obliczeń Szablon:LinkWzór możemy obliczyć średni strumień energii, która tutaj po uśrednieniu po czasie mamy: Szablon:CentrujWzór

Nieoznaczoność liczby falowej i położenia i dyfrakcyjna kątowa szerokość wiązki

Patrząc na rysunek powyżej szerokość połówkowa wiązki nazywamy przedział, który rozciąga się od Szablon:Formuła do Szablon:Formuła i jego wartość określona jest przez: Szablon:CentrujWzór Całkowita wartość liczby falowej jest tak określona, by jego kwadrat był Szablon:Formuła, zdefiniujmy w nim współrzędne iksowe kSzablon:Sub=k cosθ, a kSzablon:Sub=kcosθ i na samym końcu kSzablon:Sub, która jest równa zero, zatem stosując przybliżenie małych kątów, wtedy kosinus zastąpimy przez jedynkę, a sinus kąta przez sam kąt, wtedy współrzędną iksową liczby falowej możemy zapisać w przybliżeniu wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Zatem nieoznaczoność liczby falowej i położenia w ostatecznych rozrachunkach, przy wykorzystaniu wzorów Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór zastępując D przez Δx, jest: Szablon:CentrujWzór Można również udowodnić podobnie jak powyżej, że nieoznaczoności zachodzą również dla współrzędnej igrekowej i zetowej, a także dla częstotliwości kołowej, które możemy napisać jako związki: Szablon:ElastycznyWiersz

Optyka geometryczna

Odbicie od płaszczyzny fali płaskiej

Szablon:Rysunek Odległość dróg fazowych dwóch promieni padającej pierwszej względem promienia drugiego według rysunku obok możemy zapisać według: Szablon:CentrujWzór Różnica dróg fazowych między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Równanie fal materii pierwszego i drugiego promienia, uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu, pisząc je wedle: Szablon:ElastycznyWiersz Według zasady Huygensa musimy dodać fale Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych: Szablon:CentrujWzór W wyrażeniu Szablon:LinkWzór kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest Szablon:Formuła, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: Szablon:CentrujWzór Przyjmujemy, że λ>d, wtedy Szablon:Formuła, ale ponieważ lewa strona równania jest zawsze mniejsza niż jeden, a prawa strona jest większa niż jeden dla m>0, co stąd wynika, że jedyną możliwością jest m=0, co na podstawie Szablon:LinkWzór dostajemy α=β. Otrzymujemy, ze promień odbicia jest równy promieniowi padania.

Załamanie fali płaskiej

Odległość AB i DC możemy policzyć przy pomocy właściwości trójkąta równobocznego, które tutaj piszemy wzorami: Szablon:ElastycznyWiersz Różnica dróg między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Funkcje falowe występujące w zjawisku załamania mają taki sam wygląd jak w zjawisku odbicia, czyli funkcje Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, zatem złożenie tychże funkcji piszemy wedle: Szablon:CentrujWzór W wyrażeniu Szablon:LinkWzór kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest Szablon:Formuła, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: Szablon:CentrujWzór Dla dowolnie małego d występujące w tożsamości Szablon:LinkWzór prawa jego strona jest dowolnie duża dla m>0, a lewa skończona jest skończona, zatem jedyną możliwością jest m=0, zatem co wynika ze wspomnianego równania wniosek: Szablon:CentrujWzór Prawo opisane wzorem Szablon:LinkWzór nazywamy prawem załamania Snelliusa.

Zasada Fermata a prawo odbicia

Szablon:Rysunek Całkowity czas jaki promień leci na powierzchnię graniczną z punktu A, który pada na powierzchnię i odbija się od punktu B i leci do punktu C, jest wyrażona przy stałych parametrach ySzablon:Sub, ySzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Zróżniczkujmy obie strony równości Szablon:LinkWzór i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, by otrzymać później prawo odbicia, wiedząc jednocześnie, że xSzablon:Sub=L-xSzablon:Sub. Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego możemy otrzymać wnioski: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując tożsamości trygonometryczne Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które podstawiamy do Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór W końcowym wniosku w zasadzie Fermata Szablon:LinkWzór wnioskujemy równość kątów α i β, co jest treścią ostateczną zasady Fermata dla zjawiska odbicia.

Prawo załamania fali a zasada Fermata

Całkowity czas jaki promień leci w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania nSzablon:Sub padający na powierzchnię graniczną pomiędzy dwoma ośrodkami z punktu A, który załamuje się w punkcie punkcie B i leci do punktu C w drugim ośrodku o współczynniku załamania nSzablon:Sub, jest wyrażony przy pomocy stałych ySzablon:Sub, ySzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Zróżniczkujmy obie strony równości Szablon:LinkWzór i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, wtedy możemy otrzymać prawo załamania w dalszych niż poniżej dysputach, wiedząc jednocześnie, że xSzablon:Sub=L-xSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego mamy wnioski: Szablon:ElastycznyWiersz Wykorzystując tożsamości trygonometryczne Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, które podstawiamy do Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy równość: Szablon:CentrujWzór Wzór końcowy wynikający z obliczeń Szablon:LinkWzór jest tzw. prawem Snelliusa dla zjawiska załamania.

Zwierciadło wklęsłe

Szablon:Rysunek Rozważmy sobie teraz zwierciadło wklęsłe, zbadajmy jaki jest obraz danego przedmiotu występującego przed tym obiektem. Wysokość obrazu jest h i znajduje się w odległości od zwierciadła o x. Od przedmiotu promień świetlny leci do zwierciadła względem poziomu pod kątem α, i do zwierciadła dociera ono na wysokość równą wysokości hSzablon:Sub przedmiotu minus długość względem pionu na jaką promień się obniżył, która jest iloczynem odległości przedmiotu od zwierciadła pomnożonej przez kąt z jakim leci nasz promień względem poziomu: Szablon:CentrujWzór Kąt γ według rysunku obok określamy jako iloraz wysokości hSzablon:Sub napisaną wzorem Szablon:LinkWzór przez promień krzywizny zwierciadła R. Szablon:CentrujWzór Całkowity kąt β jest równy sumie kata α i γ, który jest kątem pomiędzy odcinkiem łączący R z promieniem świetlnym w punkcie granicznym zwierciadła, który się odbija od zwierciadła w tymże punkcie: Szablon:CentrujWzór Nachylenie promienia odbitego od zwierciadła względem poziomu określamy jako sumę katów β i γ, który jest jednocześnie ilorazem sumy wysokości powstałego obrazu i wysokości nad osią główną zwierciadła, od której to wysokości odbija się promień świetlny wychodzący od przedmiotu: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że mamy dwa wzory Szablon:LinkWzór, dla różnych α, tzn. dla αSzablon:Sub i αSzablon:Sub i odejmijmy od siebie te wzory i tak otrzymane równanie podzielmy przez αSzablon:Sub-αSzablon:Sub, otrzymując w ten sposób tożsamość: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych powyżej wzór na odległość ogniska od zwierciadła jest równa połowie promienia krzywizny zwierciadła, a także wzory na zwierciadło są w takim razie opisywane przez: Szablon:ElastycznyWiersz Wzór Szablon:LinkWzór podstawiamy do Szablon:LinkWzór, w ten sposób otrzymujemy następną tożsamość, z której napiszemy jak zmienia się wysokość obrazów względem ich odległości od zwierciadła, czyli wzór na powiększenie obrazu względem przedmiotu, który jest stosunkiem odległości obrazu i przedmiotu: Szablon:CentrujWzór

Soczewka dwuwypukła

Narysujmy soczewkę dwuwypukłą o promieniach krzywizny RSzablon:Sub i RSzablon:Sub, i przedmiot będący po jego lewej stronie, a przedmiot po jego prawej strony, ale ten obiekt jest po przeciwnej stronie niż przedmiot. Na podstawie rysunku obok wyprowadzimy wzór soczewki i soczewkowy, a także wzór na powiększenie obrazu względem wielkości przedmiotu. Szablon:Rysunek W poniższych obliczeniach skorzystaliśmy z małości kątów, tzn. dla których zachodzi tgα≈sinα≈α, a także z warunku ze soczewka jest cienka ze wzoru hSzablon:Sub≈hSzablon:Sub. Wysokość na jaką pada promień pochodzący od przedmiotu z wysokości hSzablon:Sub. który leci na soczewkę jest sumą wysokości przedmiotu i długości jaką światło leciało pod kątem do góry. Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy teraz kąt z jaką promień pochodzący z przedmiotu pada na soczewkę z jego lewej strony względem RSzablon:Sub, który przedstawiamy jako sumę kąta promienia lecącego z przedmiotu względem poziomu i nachylenia promienia krzywizny względem poziomu: Szablon:CentrujWzór Kąt pod jakim promień świetlny wszedł do wnętrza w soczewce względem promienia krzywizny RSzablon:Sub jest określany za pomocą prawa Snelliusa dla małych kątów padania i odbicia: Szablon:CentrujWzór Kąt pod jakim pada promień z wnętrza na granicę soczewki względem RSzablon:Sub, która chce wylecieć na zewnątrz jej jest określana z definicji dowolnego trójkąta, że suma kątów jest równa 180 stopni: Szablon:CentrujWzór Kąt pod jakim wyszedł promień świetlny z soczewki względem RSzablon:Sub jest opisany przez wzór wynikający z prawa załamania Szablon:LinkWzór dla małych katów padania i załamania: Szablon:CentrujWzór Kąt pod jakim promień wyszedł z soczewki względem poziomu z oczywistych powodów piszemy przez wzór: Szablon:CentrujWzór Kąt pomiędzy promienień wchodzący w obraz a poziomem jest wyrażony poprzez iloraz wysokości jakiej promień musi przebyć do obrazu pod kątem przez odległość obrazu od soczewki: Szablon:CentrujWzór Weźmy sobie dwa promienie, które wylatują z przedmiotu na wysokości hSzablon:Sub pod kątami: αSzablon:Sub i αSzablon:Sub, tworzymy w ten sposób dwa równania Szablon:LinkWzór, które odejmiemy je od siebie i dzieląc tak powstały wzór przez αSzablon:Sub-αSzablon:Sub, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Z obliczeń Szablon:LinkWzór otrzymujemy równanie soczewki i równanie soczewkowe, czyli które przepisujemy przy pomocy dwóch wzorów, oznaczając przez "f" długość ogniskowej soczewki: Szablon:ElastycznyWiersz Tożsamość Szablon:LinkWzór podstawiamy w miejsce Szablon:LinkWzór we wzorze Szablon:LinkWzór, bo one oznaczają to samo, w ten sposób możemy otrzymać równość, z którego wynika, że powiększenie obrazu jest stosunkiem położenia obrazu "y" i położenia przedmiotu "x" względem soczewki: Szablon:CentrujWzór