Elektrodynamika klasyczna/Zasady zachowania a twierdzenia o właściwościach pola elektromagnetycznego

Będziemy się zajmować właściwościami pola w elektrodynamice według elektrodynamiki klasycznej (Maxwella), jego energię, pęd, moment pędu, i wiedząc coś o tych wielkościach powiemy o ich zasadach zachowania.

Zasada zachowania ładunku elektrycznego, równanie ciągłości

Według globalnej zasady zachowania ładunku, ładunek w danej objętości zmienia się o wartość, która uszła z tej lub doszła do tej właśnie objętości. Wyobraźmy sobie pewną objętość zamkniętą, w której znajduje się ładunek q, w tej objętości ładunek jest rozłożony w każdej jej punkcie z pewną gęstością objętościową, zatem całkowity omawiany ładunek znajdujący się w tej objętości jest sumą wszystkich nieskończenie małych ładunków znajdujących się w tej właśnie objętości: Szablon:CentrujWzór Ilość ładunku, która przybyła do tej objętości na jednostkę czasu wyraża się jako pochodna zupełna wielkości całkowitego ładunku znajdującego się w tej właśnie objętości Szablon:LinkWzór i piszemy go przy pomocy: Szablon:CentrujWzór Jeśli powierzchnię zamkniętą ograniczającą objętość V podzielimy na nieskończenie wiele małych takich fragmentów, a te fragmenty mają wektor powierzchni Szablon:Formuła prostopadły do niej, zatem objętość ładunku z jaką wypłynęła z omawianej powierzchni jest wyrażona przez Szablon:Formuła

• gdzie α jest kątem między wektorami tej nieskończenie małej powierzchni, a wektorem prędkości z jaką wypływa ten właśnie ładunek.

Ubytek ładunku i prędkość ubytku ładunku są napisane: Szablon:CentrujWzór Oczywiste jest, że końcowe wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór możemy ze sobą połączyć, w rezultacie otrzymując tożsamość: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest zastosowanie prawa Ostrogradskiego-Gaussa przy zamianie całki powierzchniowej przy całkowaniu na powierzchni zamkniętej na całkę po objętości, którą ogranicza ta właśnie powierzchnia, dla prawej strony równania Szablon:LinkWzór, stąd wniosek: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór możemy przenieść wszystko na jedną stronę, wtedy otrzymujemy, że całka po objętości, którą ogranicza dowolna objętość jest zawsze równa zero: Szablon:CentrujWzór Ponieważ w równaniu Szablon:LinkWzór nic nie powiedzieliśmy po jakiej objętości całkujemy, którego całka zawsze jest zawsze równa zero, zatem dostajemy, że funkcja podcałkowa lewej strony wspomnianego równania jest zawsze równa zero. Szablon:CentrujWzór Wyobraźmy sobie przewodnik z prądem, w której płynie prąd o gęstości ładunku ρ przez powierzchnię S , i w nim płyną ładunki z prędkością Szablon:Formuła, zatem ilość ładunków Δ q, które przepłyną przez tę powierzchnię w czasie Δt, a także natężenie prądu elektrycznego, są wyrażone przez: Szablon:CentrujWzór W ostatecznych rachunkach przyjmujemy, że powierzchnia jest prostopadła do prędkości nośników tychże wspomnianych ładunków, czyli wektor tej powierzchni jest równoległy do tej prędkości, zatem gęstość prądu ładunków elektrycznych jest równoległa do prędkości tych ładunków, i jego wartość wyrażamy ją jako stosunek natężenia prądu elektrycznego przez powierzchnię, przez który przepływa ten ładunek: Szablon:CentrujWzór

Równanie ciągłości Szablon:LinkWzór na podstawie definicji gęstości prądu Szablon:LinkWzór przedstawia się bardziej eleganckiej postaci: Szablon:CentrujWzór Co jest równoważne wzorowi Szablon:LinkWzór zapisanej za pomocą nie operatora ∇, tylko za pomocą operatora dywergencji: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie jest treścią lokalnej zasady zachowania ładunku w danym punkcje należącym do naszej wspomnianej objętości.

Innym wariantem lokalnej zasady zachowania ładunku obowiązujące dla danej zakrzywionej płaszczyzny analogicznie do równania Szablon:LinkWzór wyraża się za pomocą gęstości ładunku i prądu ładunku powierzchniowego, co zapisujemy w tym przypadku: Szablon:CentrujWzór

Twierdzenie Poyntinga, a energia pola elektromagnetycznego, wektor Poyntinga

Tutaj policzymy moc wykonywaną przez siły elektromagnetyczne nad przesunięciem ładunku swobodnego qSzablon:Sub i jaka jest energia pola elektromagnetycznego. Infinitezymalna praca wykonana nad ładunkiem q przy przesunięciu jego o wektor Szablon:Formuła przez siłę Szablon:Formuła jest napisana przez: Szablon:CentrujWzór Gdzie wektor siły Szablon:Formuła występujący we wzorze Szablon:LinkWzór jest to siła Lorentza zdefiniowaną wedle wzoru Szablon:LinkWzór A także przesunięcie występujące w nim zdefiniujmy za pomocą wektora prędkości z jaką dana cząstka porusza się, czyli wedle Szablon:Formuła, wtedy nieskończenie mała praca wykonana nad przesunięciem ładunku qSzablon:Sub w czasie dt jest równa: Szablon:CentrujWzór Moc wykonywana nad ładunkiem qSzablon:Sub jest równa stosunkowi nieskończenie małej pracy dWSzablon:Sub w czasie dt przez ten czas, zatem całkowita praca na jednostkę czasu wykonana nad układem nieskończenie małych ładunków rozłożonych w sposób ciągły z gęstością ładunku ρSzablon:Sub, w których w tych punktach te ładunki poruszają się z pewnymi prędkościami, w których to punktach o pewnym natężeniu jest pole elektryczne, jest równa: Szablon:CentrujWzór Ale ponieważ zachodzi Szablon:LinkWzór, to moc Szablon:LinkWzór można wyrazić za pomocą gęstości prądu ładunku elektrycznego, ale swobodnego: Szablon:CentrujWzór Energia mechaniczna układu jest zależna od pewnej całki po pewnej objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia, w której funkcją podcałkową jest iloczynem skalarnym natężenie pola elektrycznego i gęstości ładunków swobodnych. Gęstość prądu elektrycznego objętościowego ładunku swobodnego możemy policzyć z czwartego prawa Maxwella Szablon:LinkWzór dla ośrodków materialnych: Szablon:CentrujWzór Jeśli podstawimy końcowy wzór Szablon:LinkWzór do wzoru (na moc podczas przesuwania układu ładunków swobodnych ciągłych w polu elektrycznym) Szablon:LinkWzór, to: Szablon:CentrujWzór Policzmy teraz wyrażenie pomocnicze, które będzie nam potrzebne w punkcie Szablon:LinkWzór, by dalej można było przeprowadzić dalsze obliczenia: Szablon:CentrujWzór Zastosowanie wniosków wynikających ze wzoru Szablon:LinkWzór możemy zastosować do równania Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Do wniosku Szablon:LinkWzór możemy zastosować trzecie prawo Maxwella Szablon:LinkWzór dla ośrodków materialnych: Szablon:CentrujWzór Wektor natężenia pola magnetycznego możemy przedstawić przy pomocy indukcji pola magnetycznego i magnetyzacji, wedle wzoru Szablon:LinkWzór, a wektor magnetyzacji jak dla ośrodków magnetycznych Szablon:LinkWzór, a wektor indukcji elektrycznej pola elektrycznego możemy zapisać wedle wzoru Szablon:LinkWzór, a polaryzację w zależności od panującego w nim pola elektrycznego zapisujemy za pomocą wzoru Szablon:LinkWzór. Jeśli biorąc wszystkie te wnioski i wyrażając wektor indukcji pola magnetycznego przez jego natężenie, a wektor indukcji pola elektrycznego przez jego natężenie, to mamy: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli założymy dodatkowo, że tensory Szablon:Formuła i Szablon:Formuła nie zależą od czasu, to po wykorzystaniu wniosku Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wtedy wzór Szablon:LinkWzór, po zastosowaniu prawa Ostrogradskiego-Gaussa dla ostatniego składnika tego równania, zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Wektorem Poyntinga nazywamy wektor, którego wartość jest energię przenoszoną przez pole elektromagnetyczne w jednostce czasu na jednostkę powierzchni, o kierunku i zwrocie zgodnej z przenoszeniem energii w danym punkcie: Szablon:CentrujWzór Wielkość Szablon:Formuła nazywamy strumieniem energii przechodzący przez infinitezymalną powierzchnię Szablon:Formuła, zatem Szablon:Formuła jest gęstością tego strumienia. Energię pola elektromagnetycznego na podstawie równania Szablon:LinkWzór, która jest zależna od indukcji i natężenia pola elektrycznego, a także od indukcji i natężenia pola magnetycznego, nazywamy równość: Szablon:CentrujWzór Twierdzenie Poytinga, które piszemy według wzoru Szablon:LinkWzór rysujemy je przy pomocy oznaczenia dla wektora Poytinga Szablon:LinkWzór i przy pomocy oznaczenia energii pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór, zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Jeśli cząstka poruszająca się w polu elektromagnetycznym, to ma pewną energię mechaniczną, to można napisać wiedząc, że: Szablon:Formuła jest to gęstość energii mechanicznej zapisanej na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór Szablon:CentrujWzór Definicja gęstości energii elektromagnetycznej uSzablon:Sub zależy od wektora natężenia i indukcji pola elektrycznego oraz od natężenia i indukcji pola magnetycznego. W ogólności jak się przekonano się wcześniej, że wektory charakteryzujące pole elektryczne lub magnetyczne występujące we wzorze Szablon:LinkWzór nie są w ogólności równoległe, lecz mogą, a nie muszą być pod zerowym pewnym kątem. Wedle definicji Szablon:LinkWzór wzór Szablon:LinkWzór, przy definicji gęstości energii mechanicznej uSzablon:Sub, zapisujemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Wtedy ostatecznie wzór Szablon:LinkWzór możemy napisać biorąc w jedno miejsce gęstość energii mechanicznej i elektromagnetycznej, mamy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ we wzorze Szablon:LinkWzór mamy do czynienia z dowolnymi objętościami, zatem również słuszny jest wzór: Szablon:CentrujWzór Prawo Szablon:LinkWzór możemy zapisać jako równanie ciągłości Szablon:LinkWzór przy którym gęstość ładunku elektrycznego odpowiada gęstość energii układu mechanicznego uSzablon:Sub i pola elektromagnetycznego uSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, a gęstości prądu elektrycznego odpowiada wektorowi Poytinga Szablon:LinkWzór.

Tensor napięć Maxwella

Gęstością objętościową siły nazywamy stosunek nieskończenie małej siły Lorenzta Szablon:LinkWzór działający na nieskończenie mały ładunek swobodny dqSzablon:Sub znajdujący się w objętości dV w danym punkcie przestrzeni, w której gęstość ładunku wynosi ρSzablon:Sub przez objętość dV, w której znajduje się ten nasz wspomniany ładunek, co przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Gęstość objętościowa prądu ładunku elektrycznego swobodnego w zależności od jego prędkości i jego gęstości objętościowej piszemy wzorem Szablon:LinkWzór, wtedy na podstawie tego wzór Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Całkowita siła działająca na układ nieskończenie małych ładunków znajdujących się w objętości V ograniczonej przez powierzchnię zamkniętą piszemy ją jako całkę z funkcji Szablon:LinkWzór względem objętości po całej tej objętości ograniczonej przez nas wspomniany obiekt. Szablon:CentrujWzór Będziemy korzystać z pierwszego Szablon:LinkWzór i czwartego Szablon:LinkWzór prawa Maxwella dla materii, wtedy wzór Szablon:LinkWzór przyjmuje formę: Szablon:CentrujWzór Wzór Szablon:LinkWzór po opuszczeniu w nim nawiasów przyjmuje bardziej przyzwoity wygląd: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy tożsamość, która będzie nam potrzebna w późniejszych obliczeniach, przy okazji będziemy korzystać z trzeciego prawa Maxwella dla materii Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Gęstość siły Szablon:LinkWzór, po uwzględnieniu udowodnionej tożsamości Szablon:LinkWzór, jest równa: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze potrzebne do dalszych obliczeń w punkcie Szablon:LinkWzór, w końcowych jego obliczeniach w tym naszym wyrażeniu z korzystamy z definicji indukcji pola elektrycznego Szablon:LinkWzór dla ośrodka materialnego o pewnej polaryzacji elektrycznej napisanej wzorem Szablon:LinkWzór, czyli korzystamy ze wzoru Szablon:LinkWzór, to wtedy możemy przeprowadzić nasze obliczenia: Szablon:CentrujWzór Również otrzymujemy inną tożsamość, jeśli we wniosku Szablon:LinkWzór zastąpimy wektor indukcji pola elektrycznego wektorem indukcji pola magnetycznego, a wektor natężenia pola elektrycznego wektorem natężenia pola magnetycznego, mając na myśli gdy mamy ośrodek materialny o pewnej polaryzacji magnetycznej, której natężenie pola elektrycznego definiujemy wzorem Szablon:LinkWzór, czyli łącznie korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Według wysuniętych wniosków Szablon:LinkWzór dla pola elektrycznego i Szablon:LinkWzór dla pola magnetycznego równanie na gęstość siły Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór Po krótkich przekształceniach w punkcie Szablon:LinkWzór nad wielkością, która jest gęstością siły działającej na ładunek swobodny, można powiedzieć: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest skorzystanie z drugiego prawa Maxwella Szablon:LinkWzór dla materii, wedle tego wzór Szablon:LinkWzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór W prowadźmy ogólnie niesymetryczny tensor TSzablon:Sub, który nazwiemy tensorem napięć Maxwella, co go zapisujemy: Szablon:CentrujWzór Tensor Szablon:LinkWzór jest z oczywistych powodów w ogólności tensorem asymetrycznym, ale tylko dla ośrodków liniowych jest tensorem symetrycznym dla ośrodka liniowego zarówno magnetycznie i elektrycznie, tzn. w którym zachodzą wzory Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór.

Wyznaczmy dywergencję tensora napięć Maxwella zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór i policzmy co wtedy wyjdzie: Szablon:CentrujWzór Równanie na gęstość siły Szablon:LinkWzór, na podstawie definicji tensora napięć Maxwella Szablon:LinkWzór, korzystając z obliczeń przedstawionych w punkcie Szablon:LinkWzór, przedstawiamy: Szablon:CentrujWzór Wielkość występująca we wzorze Szablon:LinkWzór pod pochodną cząstkową względem czasu nazwijmy tensorem Poitinga i oznaczmy go przez Szablon:Formuła. Dla pola elektromagnetycznego znajdujących się nie w ośrodku, ale w próżni, to ten wektor można oznaczyć przy pomocy wektora Poytinga Szablon:LinkWzór wedle: Szablon:CentrujWzór Wzór na gęstość siły działającej na ładunki swobodne przy definicji wektora Szablon:Formuła, możemy zatem napisać: Szablon:CentrujWzór Całkowita siła działająca na ładunki swobodne w materii znajdującej się w pewnej objętości ograniczonej przez powierzchnię zamkniętą wyraża się: Szablon:CentrujWzór

Zasada zachowania pędu a pole elektromagnetyczne

Tutaj dowiemy się, że pole elektromagnetyczne posiada również pęd, tak jak układy mechaniczne. Z drugiej jednak strony z zasady dynamiki Einsteina siła działająca na ładunek powoduje zmianę pędu mechanicznego układu wszystkich ładunków pSzablon:Sub, co piszemy równaniem: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą siłę działająca na układ ładunków znajdujących się w pewnej objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą Szablon:LinkWzór i podstawieniu jego do wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy równanie: Szablon:CentrujWzór W prowadźmy definicje pędu pola elektromagnetycznego poprzez wektor indukcji elektrycznej i magnetycznej: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór na podstawie definicji pędu pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór przyjmuje bardziej uproszczoną postać, wtedy wyrazy związane z pędem elektromagnetycznym w powstałym równaniu przenosimy na jej lewą stronę i włączając go pod operator pochodnej zupełnej względem czasu, wtedy całościowo dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Dochodzimy więc do wniosku, że wielkość Szablon:Formuła spełnia rolę siły działającej na układ mechaniczny i pole elektromagnetyczne. Gęstością pędu elektromagnetycznego, który panuje w danym punkcie w przestrzeni, piszemy na podstawie definicji pędu pola magnetycznego: Szablon:CentrujWzór Jeśli we wzorze końcowym Szablon:LinkWzór podstawimy za pęd elektromagnetyczny i pęd mechaniczny pewne całki objętościowe, którymi funkcjami podcałkowymi są gęstość pędu elektromagnetycznego i gęstość pędu mechanicznego, i zastosujemy twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla prawej strony tego wzoru, w rezultacie: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest spełnione dla dowolnych objętości, zatem funkcje podcałkowe prawej i lewej strony tego równania muszą być sobie równe, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Powyższe równanie wynikowe jest odpowiednikiem równania ciągłości dla zasady zachowania pędu.

Moment pędu pola elektromagnetycznego

Jeśli pole elektromagnetyczne posiada pęd, to również musi posiadać również moment pędu, jak tutaj udowodnimy. Pęd pola elektromagnetycznego przestawiamy wedle wzoru Szablon:LinkWzór, a gęstość pędu pola elektromagnetycznego możemy napisać na podstawie definicji pędu wedle Szablon:LinkWzór. Gęstość momentu pędu według definicji momentu pędu jest iloczynem wektorowym danego punktu w przestrzeni i gęstości pędu elektromagnetycznego w tym punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór A więc całkowity moment pędu pola elektromagnetycznego znajdujący się w pewnej objętości ograniczony powierzchnią zamkniętą jest całką objętościową funkcji gęstości momentu pędu elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Równość Szablon:LinkWzór mnożymy lewostronnie przez Szablon:Formuła, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór jest lokalnym równaniem ciągłości zachowania momentu pędu.