Elektrodynamika klasyczna/Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

Będziemy tutaj wyprowadzać zasady elektromagnetyzmu z zasad wariacyjnych, na podstawie tego, aby funkcjonał S przyjmował wartość najmniejszą.

Zasada wariacyjna a równania tensorowe elektromagnetyzmu z definicją czteroprądu

Gęstość Lagrangianu w elektromagnetyzmie definiujemy przy pomocy tensora pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór i przy pomocy definicji czteroprądu objętościowego napisanej wedle schematu Szablon:LinkWzór. Zatem napiszmy dla obu sygntur tensora Minkowskiego szczególnej teorii względności (znak u góry sygnatura dodatnia, u dołu ujemna): Szablon:CentrujWzór Całką działania nazywamy wyrażenie zdefiniowane na podstawie definicji gęstości lagrangianu Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór Wariacji całki działania Szablon:LinkWzór zakładamy, że ona jest równa zero, wtedy na podstawie tego powinniliśmy otrzymać tensorowe równanie Maxwella Szablon:LinkWzór, zatem sprawdźmy, czy o nam wyjdzie. Szablon:CentrujWzór W wariację funkcjonału S Szablon:LinkWzór, czyli δS Szablon:LinkWzór, liczymy względem gęstości objętościowej czteroprądu Szablon:LinkWzór (JSzablon:Sup), czeropotencjału i tensora pola elektromagnetycznego. Idąc dalej wykorzystajmy wzór na tensor pola elektromagnetycznego wyznaczony w zależności od czteropotencjału, czyli wzoru Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór W obliczeniach Szablon:LinkWzór wykorzystujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania, wiedząc że tensor pola elektromagnetycznego FSzablon:Sup Szablon:LinkWzór jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zamianie wskaźników miejscami w tym wspomnianym tensorze przed tym tensorem pojawia się znak minus, czyli FSzablon:Sup=-FSzablon:Sup. Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wykorzystanie definicji pochodnej iloczynu dwóch funkcji do pierwszego wyrazu w obliczeniach Szablon:LinkWzór, zatem w takim przypadku dostajemy równość: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest rozdzielenie w wariacji Szablon:LinkWzór na dwie osobne całki z twierdzenia na całkę sumy dwóch wyrażeń podcałkowych jako sumę całek, w których występują te wyrażenia podcałkowe, wtedy mamy wniosek: Szablon:CentrujWzór Pierwsza całka w obliczeniach Szablon:LinkWzór jest zawsze równa zero, ponieważ można go rozpisać względem całkowania po zmiennej xSzablon:Sup, i zakładamy, że wariancja czteropotencjału na końcach xSzablon:SupSzablon:Sub i xSzablon:SupSzablon:Sub jest równa zero, co możemy powiedzieć, że: Szablon:CentrujWzór Jeśli wykorzystamy nasz warunek Szablon:LinkWzór do wariacji δS Szablon:LinkWzór, zatem to samo wyrażenie możemy przepisać po wyzerowaniu się według przeprowadzonego naszego dowodu powyżej, zatem tą naszą wspomnianą tożsamość piszemy w postaci: Szablon:CentrujWzór Aby wariancja funkcjonału Szablon:LinkWzór była równa zero dla dowolnej wariacji wielkości czteropotencjału ASzablon:Sub, to wyrażenie podcałkowe w ostatnim wniosku powinno być równa zero, zatem na tej podstawie powinna zachodzić tożsamość: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że równanie Szablon:LinkWzór jest równoważne z równaniem Szablon:LinkWzór, zatem gęstość lagrangianu Szablon:LinkWzór jest poprawnym Lagrangianem, czyli wzór Szablon:LinkWzór jest poprawnym wzorem tensorowym z definicją tensora pola elektromagnetycznego napisanego wzorem Szablon:LinkWzór.

Lagrangian relatywistyczny pola elektromagnetostatycznego

Lagrangian w elektrodynamice relatywistycznej definiujemy przy pomocy potencjału skalarnego φ i wektorowego Szablon:Formuła przy prędkości cząstki równym Szablon:Formuła przy rozpatrywanej cząstce o ładunku o wartości q, przedstawiamy według: Szablon:CentrujWzór Pęd uogólniony w elektrodynamice jest napisany jako pochodna cząstkowa Lagrangianu Szablon:LinkWzór względem wektora prędkości, mamy: Szablon:CentrujWzór Pęd uogólniony w polu elektromagnetycznym jest równy sumie pędu klasycznego znanej ze szczególnej teorii względności i iloczynowi ładunku cząstki i potencjału wektorowego tego pola. Zatem dochodzimy do wniosku, że ten pęd to nie jest zwykły iloczyn masy relatywistycznej i prędkości cząstki, zachodzi tak tylko w polu bez potencjału wektorowego. Równanie wariacyjne Eulera-Lagrange'a dla lagrangianu Szablon:LinkWzór jest dokładnie takie same w Szablon:LinkWzór. W tym wzorze w pierwszym wyrazie pod pochodną zupełną względem czasu występuje pęd uogólniony cząstki Szablon:LinkWzór. Zatem rozważając prawie tak samo jak w tym rozdziale, w którym znajduje się ostatnio wspomniany wzór, wtedy dochodzimy do wzoru na równanie ruchu cząstki punktowej Szablon:LinkWzór, tylko po lewej stronie wzoru występuje nie siła klasyczna Newtona według drugiej zasady dynamiki Newtona, tylko siła relatywistyczna Einsteina. Co kończy dowód, że z zasady najmniejszego działania przy definicji Lagragianu Szablon:LinkWzór wynika dobrze nam znane równanie ruchu.

Lagrangian relatywistyczny cząstki, w przybliżeniu małych prędkości, dla pola elektromagnetostatycznego

Lagrangian relatywistyczny cząstki punktowej o ładunku q Szablon:LinkWzór dla prędkości o wiele mniejszej od prędkości światła, czyli wtedy zachodzi Szablon:Formuła, wtedy na podstawie tego pierwiastek w nim występujący można rozwinąć w szereg Taylora, wtedy dla tego przybliżenia dostajemy: Szablon:CentrujWzór W wyrażeniu przybliżonym Szablon:LinkWzór w stosunku do jej odpowiednika klasycznego Szablon:LinkWzór różni się o stałą -mSzablon:SubcSzablon:Sup, która w tym przypadku nie odgrywa żadnej roli, ponieważ w równaniu Eulera-Lagrange'a Szablon:LinkWzór występują pochodne cząstkowe i ta stała według twierdzenia o pochodnej sumy nic nie wnosi we końcowym wniosku.

Relatywistyczny hamiltonian dla pola elektromagnetostatycznego

Wyznaczmy relatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetostatycznym, korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki relatywistycznej i Lagrangianu relatywistycznego Szablon:LinkWzór, a także z definicji pędu uogólnionego Szablon:LinkWzór dla pola elektromagnetostatycznego: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wedle końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór hamiltonian ładunku punktowego, to jest po prostu jego energia mechaniczna (całkowita), która jest sumą całkowitej energii relatywistycznej cząstki mcSzablon:Sup i jego energii potencjalnej qφ.

Lagrangian a czterowektor potencjału i różniczki zmiany położenia cząstki w czasoprzestrzeni

Wykorzystując definicję czteropotencjału kowariantnego Szablon:LinkWzór i definicję położenia w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego w szczególnej teorii względności, wtedy definicję Lagrangianu Szablon:LinkWzór możemy zapisać w równoważnej postaci: Szablon:CentrujWzór Wedle przekazów z obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór iloczyn wspomnianego Lagrangianu L i różniczki czasu, w której badamy ruch badanej cząstki jest wyrażony: Szablon:CentrujWzór Całka działania Lagrangianu Szablon:LinkWzór jest całką naszego Lagrangianu względem czasu i na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór jest równa jego przedstawieniu: Szablon:CentrujWzór

Równanie ruchu w czteroprzestrzeni Minkowskiego

Zasada najmniejszego działania stwierdza, że względem funkcjonału Szablon:LinkWzór, wariacja tegoż obiektu jest równa zero, tzn.: Szablon:CentrujWzór Z definicji różniczki wariacji Szablon:Formuła wariację Szablon:LinkWzór po jego działaniu na wnętrze jego nawiasu, stwierdzamy, że na pewno zachodzi: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór stosujemy definicję kowariantnego czterowektora prędkości Szablon:Formuła, a także całkujemy przez części jego pierwszy i drugi wyraz, dalej grupując odpowiednio wyrazy, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór Drugi wyraz w Szablon:LinkWzór jest równy zero, bo przy wariowaniu całki należy uwzględnić, że współrzędne mają ustalone wartości na końcach przedziału całkowania. Dalej należy uwzględnić tożsamości: Szablon:ElastycznyWiersz Jeśli podstawimy tożsamości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór, to otrzymamy do tego ostatniego równoważny wzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ we wzorze Szablon:LinkWzór wskaźniki μ i ν są wskaźnikami niemymi, więc w trzecim jego wyrazie pod całką Szablon:LinkWzór zamieniamy miejscami te wskaźniki, a także dla wyrazu drugiego i trzeciego stosujemy wzór Szablon:Formuła wynikająca z defiicji kontrawariannej czteroprędkości, zatem na podstawie wyżej wymienionej tożsamości otrzymujemy wzór: Szablon:CentrujWzór Ponieważ we wzorze Szablon:LinkWzór rozpatrujemy dowolne wariacje zmiennej Szablon:Sup, dla której cała całka jest równa zero, wtedy wyrażenie podcałkowe musi być zawsze być równa zero, zatem: Szablon:CentrujWzór Wykorzystujemy definicję tensora pola elektromagnetycznego podwójnie kowariantnego przy pomocy kowariantnego czteropotencjału Szablon:LinkWzór, czyli tożsamości fizycznej równoważnej do Szablon:LinkWzór, wtedy wzór Szablon:LinkWzór przyjmuje bardziej uproszczoną postać: Szablon:CentrujWzór Jeśli wprowadzimy definicję czteropędu w szczególnej teorii względności we wzorze Szablon:LinkWzór i wykorzystamy definicję czterosiły znanej w szczególnej teorii względności i także wykorzystamy, że tensor pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór jest tensorem antysymetrycznym, wtedy mamy wniosek: Szablon:CentrujWzór Ten sam wzór co Szablon:LinkWzór, który otrzymaliśmy z zasady wariacyjnej, napisaliśmy w punkcie Szablon:LinkWzór, którego zgodność ze szczególną teorią względności i z definicja siły Lorentza Szablon:LinkWzór udowodniliśmy wykorzystując definicję tensora pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór. Zatem te dwie metody prowadzą do takiej samej definicji czterowektora siły KSzablon:Sup.