Elektrodynamika klasyczna/Rozwinięcia kwadrupolowe

Będziemy zajmować się multipolami elektrycznymi w celu obliczenia ich natężenia pola elektrycznego w pewnej w odległości od naszego multipola.

Dipol elektryczny

Szablon:Rysunek Potencjał elektryczny w pewnej odległości od dwóch źródeł q i -q dipola elektrycznego, czyli w punkcie O przedstawia się jako suma potencjałów pochodzących od tych ładunków o przeciwnych znakach: Szablon:CentrujWzór Dalszym krokiem jest wyznaczenie odległości RSzablon:Sub za pomocą rysunku obok, przy pomocy odległości pomiędzy tymi omawianymi ładunkami q i -q, oraz przy pomocy odległości łączący środek tego dipola z punktem O, w którym liczymy potencjał elektryczny pochodzący od tego obiektu. Wyznaczmy kwadrat odległości ładunku q od tego ściśle określonego punktu O, w którym liczymy potencjał elektryczny. Jak się przekonamy ona jest zależna od odległości środka dipola elektrycznego od punktu O, jak i odległości w tym obiekcje ładunku q od ładunku przeciwnego -q: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy kwadrat odległości ładunku -q od tego ściśle określonego punktu O, w którym liczymy potencjał elektryczny. Jak się przekonamy ona jest zależna od odległości środka dipola od punktu O, jak i odległości w dipolu elektrycznym ładunku q od ładunku przeciwnego -q: Szablon:CentrujWzór Co do wzorów Szablon:LinkWzór (ona przedstawia odległość ładunku q od punktu O) i Szablon:LinkWzór (ona przedstawia odległość ładunku -q od punktu O), co można zapisać te dwa wzory równoważnie obejmującą oba te przypadki, za pomocą znaku plus minus, czyli znaku ±, wedle: Szablon:CentrujWzór Policzmy odwrotności wielkości RSzablon:Sub zapisanej ogólnie wedle wzoru Szablon:LinkWzór, które są z osobna odległościami ładunku q i -q od rozważanego punktu O, mamy stąd wniosek: Szablon:CentrujWzór Policzmy wyrażenie, które mówi nam jaka jest wartość potencjału elektrycznego w naszym omawianym punkcie, czyli według wzoru Szablon:LinkWzór, korzystając ze wzoru ogólnego Szablon:LinkWzór, mówiący jakie są odległości ładunku q lub -q od naszego punktu, zatem policzmy najpierw ostatni czynnik tej tożsamości: Szablon:CentrujWzór By potem napisać nasz potencjał Szablon:LinkWzór wedle wzoru Szablon:LinkWzór, przedstawiający różnicę odwrotności ładunków q i -q od punktu O, której ten potencjał jest równy wyrażeniu: Szablon:CentrujWzór Potencjał elektryczny pochodzący od dipola będziemy liczyli w pewnej odległości od niego, korzystając z definicji momentu dipolowego o wartości: Szablon:CentrujWzór

• gdzie d jest to odległość łącząca ładunki q (ładunek dodatni) i -q (ładunek ujemny) w dipolu elektrycznym.

jeśli moment dipolowy przedstawić jako wektor, to jego kierunek pokrywa się z prostą łączącą oba te ładunki, a zwrot jest od ładunku ujemnego do dodatniego. Potencjał skalarny Szablon:LinkWzór jest taki, że wykorzystując wzór na wartość momentu dipolowego Szablon:LinkWzór, wtedy wyraża się on: Szablon:CentrujWzór Jest to wzór na potencjał skalarny dipola, który jest funkcją jego momentu dipolowego, odległości środka dipola od punktu, w którym ten potencjał skalarny istnieje, a także od kąta pomiędzy wektorem łączący dwa skrajne ładunki w dipolu elektrycznym, a wektorem łączący środek dipola elektrycznego z punktem, w którym liczymy nasz wspomniany potencjał.

Rozwinięcie multipolowe potencjału skalarnego

Szablon:Rysunek Mamy sobie pewien rozkład ładunków i będziemy liczyli potencjał skalarny w pewnym punkcie, którego wektor wodzący jest Szablon:Formuła względem pewnego punktu. Również znamy wektory wodzące Szablon:Formuła infinitezymalnych objętości. Na podstawie tych naszych dysput możemy wyznaczyć odległość infinitezymalnego ładunków, który ten ładunek znajduje się w infinitezymalnej objętości, od punktu O. Mając już obliczony odległość R, które możemy wykorzystać do liczenia potencjału skalarnego według wzoru napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór. Ta nasza wspomniana odległość R, którą będziemy wyznaczać wedle rysunku obok, jest napisana: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że ona jest funkcją r i odległości rSzablon:Sup, które są wyznaczane względem pewnego punktu, który nazwiemy punktem bazowym. Obierzmy odległość R Szablon:LinkWzór poprzez parametr ε, który jest zdefiniowany w wspomnianym wzorze w sposób równoważny wedle: Szablon:CentrujWzór

• gdzie ten nasz wspomniany parametr ε jest opisany wzorem:

Szablon:CentrujWzór Odwrotność promienia R Szablon:LinkWzór przy definicji parametru ε Szablon:LinkWzór możemy wyrazić jako: Szablon:CentrujWzór

Wykorzystajmy definicję parametru ε, który jest opisana według wzoru Szablon:LinkWzór do wzoru, który jest odwrotnością R Szablon:LinkWzór, mamy: Szablon:CentrujWzór We wzorze Szablon:LinkWzór w nawiasie grupujemy kolejne wyrazy względem potęg Szablon:Formuła, a zatem do dzieła. Szablon:CentrujWzór Rozszerzając powyższy wzór Szablon:LinkWzór, który można tak rozszerzyć na wszystkie wyrazy zależne od współczynnika n dla PSzablon:Sub(x), które są wielomianami Legendre'a. Szablon:CentrujWzór Całkowity potencjał elektryczny Szablon:LinkWzór i korzystając przy tym z Szablon:LinkWzór na odwrotność promienia R, wyrażona jest w postaci całki po ładunkach należących do tego rozkładu według wzoru: Szablon:CentrujWzór lub w postaci jawnej biorąc ze wzoru Szablon:LinkWzór trzy pierwsze wyrazy, a pozostałe oznaczając wielokropkami: Szablon:CentrujWzór

Patrząc na powyższe rozwinięcie mamy dla n=0 człon monopolowy, dla n=1 człon dipolowy i ostatecznie dla b=3 człon kwadrupolowy. Potencjał elektryczny można liczyć w prowadzając pewne poprawki jako multipole.

Człon monopolowy i dipolowy w rozwinięciu multipolowym

Człon monopolowy występujący we wzorze Szablon:LinkWzór jest dokładnie taki sam jak w równaniu Szablon:LinkWzór na potencjał skalarny wytwarzanej przez rozciągły rozkład ładunków nieskończenie małych z pewnymi gęstościami objętościowymi ładunków elektrycznych. Szablon:CentrujWzór A człon dipolowy występujący również w tym samym równaniu jest zależny od gęstości objętościowej ładunków w danej badanej objętości i od kąta φ wedle kulistego układu współrzędnych, potencjał elektryczny pochodzący od dipoli jest wyrażony: Szablon:CentrujWzór Określmy jako: Szablon:Formuła,

• gdzie:Szablon:Formuła jest wektorem równoległym i jednostkowym do wektora wodzącego Szablon:Formuła, w którym ta ostatnia łączy punkt O z pewnym punktem, którego ma początek wspomniany wektor, i na końcu tego wektora będziemy liczymy potencjał elektryczny skalarny pola wytwarzanego przez pewien rozkład ładunków, i która z Szablon:Formuła tworzy pewien kąt.

Dochodzimy do wniosku, że wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Jeśli zdefiniujemy, że wektor momentu dipolowego dielektryka jako całkę objętościową z iloczynu gęstości objętościowej ładunków jakie panują w danym punkcie przez położenie tego punktu określonej przez wektor Szablon:Formuła: Szablon:CentrujWzór Po wykorzystaniu wzoru na moment dipolowy zdefiniowanej w linijce Szablon:LinkWzór do wyrażenia na potencjał skalary pochodząca od pewnego rozciągłego dipola elektrycznego Szablon:LinkWzór, wtedy: Szablon:CentrujWzór

W postaci dyskretnej, gdy ładunki nie są infinitezymalnie małe, ale mają wartości skończone i rozłożone są jakoś w przestrzeni, wtedy moment dipolowy takiego rozkładu ładunków jest napisany: Szablon:CentrujWzór Całkowity ładunek indukowany w dielektryku wynosi zero. A zatem ładunkowi ujemnemu odpowiada ładunek dodatni o takim samym co do wartości ładunku. Jeśli mamy: Szablon:CentrujWzór To dochodzimy do wniosku, że definicja momentu dipolowego dla układu w postaci ciągłej Szablon:LinkWzór jak i dla układów dyskretnych dipoli Szablon:LinkWzór jest poprawną definicją.

Natężenie pola elektrycznego dipola

Szablon:Rysunek Dotąd zajmowaliśmy jedynie potencjałami elektrycznymi jako wielkościami skalarnymi. Teraz będziemy zajmować się wyznaczaniem pola wektorowego w postaci natężenia pola elektrycznego, co tutaj będziemy wyznaczali tą wielkość we współrzędnych kulistych. Potencjał elektryczny dipola jest określony według wzoru Szablon:LinkWzór, i wtedy aby otrzymać pole wektorowe natężenia pola elektrycznego należy policzyć gradient potencjału elektrycznego wedle wzoru Szablon:LinkWzór, korzystać będziemy z definicji tego gradientu we współrzędnych sferycznych: Szablon:CentrujWzór Wtedy poszczególne współrzędne w układzie kulistym natężenia pola elektrycznego wyrażamy, korzystając z definicji gradientu, który ostatnio wspominaliśmy, są wyrażone przez: Szablon:CentrujWzór

Wektor natężenia pola elektrycznego wytwarzane przez dipol elektryczny przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Jest to natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola elektrycznego w układzie kulistym i jest funkcją odległości środka dipola z punktem, w którym liczymy tą wielkość, która to Szablon:LinkWzór wyznacza wielkość wektorową zależną od wersorów pochodzących od układu kulistego w tym punkcie.