Elektrodynamika klasyczna/Przewodnik z prądem elektrycznym

Tutaj przedstawimy wszystko co jest związane z prądem, jakie są jego prawa. Dlaczego przewodnik przewodzi prąd.

Prawo Ohma

W przewodniku z prądem gęstość prądu płynącego w nim jest proporcjonalna do siły działający na jednostkowy ładunek na nośniki prądu znajdujących się w rozważanym przewodniku. ta zależność jest pisana: Szablon:CentrujWzór W naszym przypadku σ, nosi nazwę przewodności elektrycznej właściwej, a jego odwrotność nazywamy opornością właściwą zdefiniowanej wedle: Szablon:CentrujWzór Siła Szablon:Formuła działająca na jednostkowy ładunek definiujemy jako siłę Lorentza napisanej wedle sposobu Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zazwyczaj prędkość ładunków jest mała, to można powiedzieć, że wyrażenie Szablon:LinkWzór w przybliżeniu jest równoważne proporcjonalności Szablon:Formuła, zatem prawo Ohma Szablon:LinkWzór przy ostatnio powiedzianym przybliżeniu, które zachodzi dla wzoru Szablon:LinkWzór jest wedle równania: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że gęstość prądu jakie płynie przewodniku jest wprost proporcjonalne do natężenia pola elektrycznego. Prawo Szablon:LinkWzór jest również nazywamy różniczkowym prawem Ohma.

Współczynnik przewodnictwa właściwego

Prędkość ruchu termicznego w temperaturze T jest vSzablon:Sub, a średnia droga swobodna jest λ, jest to droga przebyta od jednego rdzenia atomowego do innego, a ten czas tej drogi z definicji prędkości jest równy: Szablon:CentrujWzór Od jednego rdzenia do drugiego elektron porusza się ruchem jednostajnym przyspieszonym, z prędkością średnią:Szablon:Formuła. Zakładamy, że elektron po zderzeniu z rdzeniem traci całkowicie swoją prędkość (energię kinetyczną). A więc jego prędkość średnia na tej drodze definiujemy wedle: Szablon:CentrujWzór Możemy skorzystać z drugiej zasady dynamiki Newtona i wyrazić przyspieszenie cząstki w zależności od niezrównoważonej siły i masy elektronu, zatem równanie Szablon:LinkWzór przyjmuje kształt: Szablon:CentrujWzór Możemy skorzystać z definicji siły elektrostatycznej w zależności od jego natężenia pola Szablon:LinkWzór, wtedy ten wzór na siłę podstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy: Szablon:CentrujWzór Gęstość prądu definiujemy wedle wzoru Szablon:LinkWzór, w których "n" jest koncentracją elektronów, z których każda ma f elektronów, przestawia się: Szablon:CentrujWzór Do wzoru Szablon:LinkWzór za prędkość średnią podstawiamy wyrażenie Szablon:LinkWzór, które jest zależne od natężenia pola elektrycznego panującego w przewodniku i innych wielkości, zatem: Szablon:CentrujWzór Przewodność elektryczna jest zdefiniowana tak, że porównując wzory Szablon:LinkWzór z formułą Szablon:LinkWzór, dostajemy: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że przewodność elektryczna jest wielkością stałą dla danej temperatury przewodzącego przewodnika.

Definicja SEM-siły elektromotorycznej

Załóżmy, że mamy obwód elektryczny wraz ze źródłami prądu elektrycznego. W dowolnym punkcie takiego obwodu można powiedzieć, że całkowita siła działająca na jednostkę ładunku elektrycznego jest równa polu elektrycznemu jakie panuje w danym miejscu przewodnika i siły na jednostkę ładunku odpowiedzialny za przepływ prądu pochodzący od źródła elektrycznego: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:Szablon:Formuła, jest to siła podtrzymująca prąd elektryczny w obwodzie, ale Szablon:Formuła jest to całkowita siła na jednostkę ładunku, działająca na ładunek w danym punkcie obwodu elektrycznego.

Definicja siły elektromotorycznej określa się jako całkę okrężną z wyrażenia Szablon:LinkWzór wzdłuż przewodnika z prądem i zakładając, że cyrkulacja natężenia pola elektrycznego Szablon:LinkWzór na konturze zamkniętym jest równa zero (tutaj oczko). Szablon:CentrujWzór Wewnątrz źródła prądu elektrycznego zachodzi między stykami Szablon:Formuła, czyli pole elektryczne w źródle prądu równoważy siły zewnętrzne, zatem na podstawie powyższych rozważań powinno zachodzić: Szablon:CentrujWzór

Zatem siła elektromotoryczna źródła prądu elektrycznego definiujemy jako całkę pomiędzy stykami źródła prądu elektrycznego na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Reguła strumienia dla SEM przesuwającego się przewodnika w polu magnetycznym

Szablon:Rysunek Szablon:Rysunek Z definiujmy wektor Szablon:Formuła jako wektor prostopadły do prędkości ruchu nośników prądu i ruchu samego przewodnia z prądem, koncentrując się na pewnym punkcie S i po przesunięciu jego, mamy wtedy punkt SSzablon:Sup, to wtedy infinitezymalny wektor Szablon:Formuła można zapisać: Szablon:CentrujWzór

• gdzie: Szablon:Formuła jest to przesunięcie punktu Szablon:Formuła w punkt Szablon:Formuła.

Wykorzystujemy definicję infinitezymalnego strumienia jako iloczynu indukcji pola magnetycznego i małego wektora Szablon:Formuła w sposób: Szablon:CentrujWzór Możemy zapisać wektor nieskończenie małej powierzchni Szablon:LinkWzór prostopadłej do tej powierzchni, wtedy strumień pola magnetycznego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Prawa strona jest całkowaniem po całej konturze przewodnika, i tylko tej części, która znajduje się w polu magnetycznym.

Jeśli przez Szablon:Formuła rozumiemy jako prędkość przewodnika z prądem, a przez Szablon:Formuła prędkość nośników prądu, a zatem całkowita prędkość nośników z prądem jest wyrażona: Szablon:CentrujWzór

Ależ we wzorze na sumowanie prędkości Szablon:LinkWzór zachodzi równoległość wektora Szablon:Formuła do wektora prędkości nośników prądu Szablon:Formuła, to wtedy iloczyn wektorowy wektora nieskończenie małej części obwodu i prędkości cząstek Szablon:Formuła, z którą w nim płynie prąd elektryczny, można zapisać jako równe zero. Wzór Szablon:LinkWzór a w nim wielkość prędkości części obwodu Szablon:Formuła zastępujemy przez prędkość całkowitą naszych cząstek w obwodzie, która jest sumą prędkości cząstek w obwodzie w jego poruszającej się układzie odniesienia i prędkości samego obwodu, wtedy wzór Szablon:LinkWzór można zapisać równoważnie do poprzednich dysput: Szablon:CentrujWzór Można powiedzieć, że wyrażenie występujące z prawej strony wzoru Szablon:LinkWzór z definicji siły magnetycznej na jednostkę ładunku elektrycznego zachodzi tożsamość przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie Szablon:LinkWzór z tożsamości udowodnionej dla jego prawej strony wedle przekształceń Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Korzystając z definicji na siłę elektromagnetyczną Szablon:LinkWzór, wtedy wyrażenie Szablon:LinkWzór, które jest pochodną zmiany strumienia magnetycznego względem czasu jest równa sile elektromagnetycznej wytwarzanej przez zmienne pole magnetyczne i to wyrażenie wzięte jest ze znakiem minus: Szablon:CentrujWzór a więc nasze prawo na SEM w polu magnetycznym zostało udowodnione.