Elektrodynamika klasyczna/Promieniowanie elektromagnetyczne

Dotychczas mówiliśmy o płaskich falach elektromagnetycznych bez omówienia jak one powstają. Źródłem fal elektromagnetycznych jest rozkład ładunków elektrycznych, który się w czasie zmienia. Ale one muszą poruszać się ruchem przyspieszonym albo w przypadku prądów muszą być to prądy zmienne. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się do nieskończoności od ich źródła. Oznaką natężenia energii fali elektromagnetycznej jest wektor Poytinga, którą liczymy dla r→∞. Odległość źródła do odbiornika jest bardzo duża. Całkowita moc przechodząca przez daną powierzchnię określana jest przez: Szablon:CentrujWzór Całkowitą moc wypromieniowana jest pisana przez Szablon:LinkWzór dla bardzo dużego r, czyli praktycznie dla r, mówiąc matematycznie dążącego do nieskończoności, jako: Szablon:CentrujWzór

Promieniowanie pochodzące od dipola elektrycznego

Szablon:Rysunek Wyobraźmy sobie taką sytuację, że dwie metalowe sfery są odległe od siebie o odległość równą d. W chwili określonej przez t ładunek na górnej sferze jest równy q(t), a na dolnej -q(t). Ładunek na górnej sferze jest rysowany: Szablon:CentrujWzór Moment dipolowy elektryczny z jego definicji przedstawiony jest w punkcie Szablon:LinkWzór, stąd jego zależność w czasie na podstawie Szablon:LinkWzór zmienia się w sposób harmoniczny określamy przez: Szablon:CentrujWzór

• gdzie: pSzablon:Sub=qSzablon:Subd, określa maksymalną wartość momentu dipolowego jaką może posiadać nasz rozważany układ elektryczny dipolowy.

Potencjał w punkcie O od dipola elektrycznego jest zależny od odległości poszczególnych ładunków pochodzących od tego dipola, tzn. od RSzablon:Sub i RSzablon:Sub, i jest określany wzorem Szablon:LinkWzór. Jeśli do tego wzoru podstawimy wyrażenie Szablon:LinkWzór i zamieniając czas rzeczywisty na czas opóźniony Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnym naszym krokiem jest wykorzystanie przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości RSzablon:Sub, czyli wielkości napisanej w Szablon:LinkWzór, a także samej wielkości RSzablon:Sub, zatem wyznaczmy wyrażenie pomocnicze w sposób przybliżony: Szablon:CentrujWzór W naszych obliczeniach zakładamy, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na naszym dipolu w czasie, co zapisujemy jako: Szablon:Formuła, stąd wniosek, że ostatni czynnik występującego w punkcie Szablon:LinkWzór spełnia warunek: Szablon:CentrujWzór zatem możemy dokonać przybliżenia w postaci sinφ≈φ, a także cosφ≈ 1, zatem wyrażenie Szablon:LinkWzór możemy napisać w postaci przybliżonej: Szablon:CentrujWzór Mając przybliżony wzór Szablon:LinkWzór, a także wzór na odwrotność wielkości RSzablon:Sub Szablon:LinkWzór, i to wszystko podstawiamy do wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy wyrażenie na wartość przybliżoną potencjału elektrycznego wytwarzanej przez układ dwóch ładunków: Szablon:CentrujWzór

Interesują nas duże odległości, zatem przyjmijmy następne przybliżenie, które spełnia wzór: Szablon:Formuła, zatem we wzorze Szablon:LinkWzór możemy pominąć drugi człon w tej tożsamości, zatem tą wspomnianą równość piszemy: Szablon:CentrujWzór Znając zależność ładunków q(t) od czasu na końcach dipola elektrycznego wedle zależności Szablon:LinkWzór możemy z definicji natężenia prądu elektrycznego napisać jego wartość: Szablon:CentrujWzór Ponieważ dipol elektryczny stanowi jakoby drut, w których na końcach znajdują się ładunki. W tym drucie płynie pewny zmienny prąd w czasie rzeczywistym t, zatem potencjał wektorowy na podstawie pierwszej równości Szablon:LinkWzór, bo natężenie elektryczne prądu jest zależne od czasu, przedstawia się: Szablon:CentrujWzór Interesuje nasz przypadek, gdy zachodzi d<<r, zatem odległość według wzoru Szablon:LinkWzór, a w nim zastępujemy wielkość d przez z, wtedy możemy napisać dwa wzory: Szablon:ElastycznyWiersz Następnie policzmy wyrażenie pomocnicze występujące w punkcie Szablon:LinkWzór w postaci pewnych kosinusów, korzystając przy tym z przybliżenia Szablon:LinkWzór, zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór Niech mamy przybliżenie będzie takie, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym będzie d, by było o wiele mniejsze od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego obiektu lub z jaką częstotliwością zmienia się prąd , czyli Szablon:Formuła, zatem możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest napisanie wyrażenia poniżej występujące pod całką równości Szablon:LinkWzór i korzystać będziemy przy tym z tożsamości przybliżonej Szablon:LinkWzór Szablon:CentrujWzór Ostatnim krokiem jest wyznaczenie wyrażenia na potencjał wektorowy magnetyczny pola elektromagnetycznego wytwarzanej przez dipol elektryczny Szablon:LinkWzór, jeśli przy tym będziemy wykorzystywali przybliżenie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Potencjał skalarny zależy tylko od kata zenitalnego, a nie zależy od kąta azymutalnego, zatem gradient potencjału skalarnego napisanej dla dipola elektrycznego w punkcie Szablon:LinkWzór jest w postaci: Szablon:CentrujWzór Wersor zetowy układu kartezjańskiego układu współrzędnych można rozłożyć w układzie sferycznym następująco: Szablon:CentrujWzór Potencjał wektorowy pola magnetycznego Szablon:LinkWzór na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór piszemy: Szablon:CentrujWzór Naszym ostatnim krokiem jest wyznaczenie pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego zdefiniowanego w punkcie Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Natężenie pola elektrycznego na podstawie jego definicji Szablon:LinkWzór możemy napisać, jeśli ściągniemy wyznaczone wcześniej tożsamości dla dipola elektrycznego gradientu pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Naszym następnym krokiem jest wyznaczenie rotacji potencjału wektorowego Szablon:LinkWzór, otrzymujemy: Szablon:CentrujWzór

Drugi człon możemy wyeliminować, ze względu na to, że odległość od dipola elektrycznego punktu O jest o wiele większa niż stosunek wartości prędkości światła i częstotliwości ω z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego dipola, czyli Szablon:Formuła, zatem wektor indukcji magnetycznej jest równy: Szablon:CentrujWzór A teraz troszkę z tożsamości napiszmy poniższe wyrażenie, które jest iloczynem wektorowym wersorów w układzie kulistym wersora φ-tego i θ-owego: Szablon:CentrujWzór Wektor Poytinga Szablon:LinkWzór przy definicji natężenia pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i indukcji pola magnetycznego Szablon:LinkWzór, wtedy znając te wielkości pola elektromagnetycznego w próżni pochodzące od dipola elektrycznego, w której ładunek na jego końcach zmienia się harmonicznie, a także w nim płynie prąd harmoniczny, wtedy ten wektor na podstawie tożsamości Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Średnia wartość wektora Poytinga względem czasu możemy wyznaczyć z jej wartości chwilowej wedle punktu Szablon:LinkWzór wedle wyglądu: Szablon:CentrujWzór

Całkowita moc promieniowania można obliczyć po sferze o promieniu r, można policzyć jako całkę powierzchniową wyrażenia na średni wektor Poytinga napisanej wedle Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wyznaczmy całkę nieoznaczoną wedle praw analizy, korzystając z metody całkowania przez podstawienie, a później z metody całkowania przez części, w ten sposób możemy obliczyć postać zwartą naszej całki nieoznaczonej. Szablon:CentrujWzór Na podstawie już obliczonej całki Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć całkę występującą w wyrażeniu na całkowitą moc wypromieniowaną Szablon:LinkWzór, jeśli najpierw policzymy całkę oznaczoną: Szablon:CentrujWzór Zatem średnia moc promieniowania dipola elektrycznego Szablon:LinkWzór, na podstawie całki oznaczonej Szablon:LinkWzór, jest wyrażona wzorem poniżej. Jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na końcach tego dipola i od maksymalnej wartości momentu dipolowego pSzablon:Sub jaką może przyjmować nasz dipol. Szablon:CentrujWzór Widzimy, że średnia moc promieniowania nie zależy od promienia r, co jest zgodne z zasadą zachowania energii.

Promieniowanie pochodzące od dipola magnetycznego

Szablon:Rysunek Niech mamy pętlę jak na rysunku o promieniu b i niech płynie w nim prąd przemienny o częstości kołowej ω o natężeniu natężeniu prądu zależnym od czasu w sposób harmonicznym: Szablon:CentrujWzór Moment dipolowy dipola magnetycznego definiujemy jako iloczyn powierzchni jaką tworzy okrągły obwód i natężenia prądu napisanego w punkcie Szablon:LinkWzór Szablon:CentrujWzór

• gdzie maksymalna wartość momentu dipolowego jest opisana wzorem mSzablon:Sub=π bSzablon:Sup ISzablon:Sub.

Potencjał wektorowy w odległości R od dipola magnetycznego w czasie t jest opisany na podstawie wzoru ogólnego Szablon:LinkWzór w sposób: Szablon:CentrujWzór Załóżmy, że wektor Szablon:Formuła jest nad osią x, to potencjał wektorowy Szablon:Formuła jest skierowany wzdłuż osi y, bo składowe iskowe redukują się razem z jednej i drugiej strony osi x, bo składowa iskowa dla takiego samego y ma przeciwne zwroty, a więc składowa igrekowa wektora Szablon:Formuła jest: Szablon:CentrujWzór Potencjał wektorowy Szablon:LinkWzór, na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór na współrzędną igrekową wektora małego wycinka, w którym płynie prąd o natężeniu Szablon:LinkWzór, czyli wielkości Szablon:Formuła, piszemy: Szablon:CentrujWzór Według powyższego wzoru można obliczyć odległość od odcinka prądu Szablon:Formuła do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał wektorowy, zatem ta długość R: Szablon:CentrujWzór Wektor Szablon:Formuła można przedstawić za pomocą składowych we współrzędnych kartezjańskich, a także wektor promienia Szablon:Formuła, w sposobu: Szablon:ElastycznyWiersz Można policzyć, z definicji iloczynu skalarnego i definicji wektorów Szablon:Formuła i Szablon:Formuła ich iloczyn skalarny, tzn. wielkości Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wedle: Szablon:CentrujWzór Wielkość R, która jest odległością od dipola, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne, czyli Szablon:LinkWzór, następnie wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór, tą odległość piszemy jako: Szablon:CentrujWzór

W naszym przypadku zakładamy, że pętla dipola magnetycznego była mała w porównaniu z r, czyli zachodzi:Szablon:Formuła, oczywiste jest, że R w takim przypadku możemy policzyć w sposób przybliżony wykorzystując ostatnio wspomniane związki między promieniem obwodu b a odległością od środka tego obwodu r, zatem na podstawie wspomnianych zależności wielkość Szablon:LinkWzór możemy zapisać jako: Szablon:CentrujWzór A odwrotność przybliżonej wielkości napisanej w punkcie Szablon:LinkWzór możemy napisać też w bardziej przybliżony sposób: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest wyznaczenie wielkości poniżej wykorzystując wzór na przybliżoną wartość na R wedle Szablon:LinkWzór, zatem dokonajmy tychże obliczeń: Szablon:CentrujWzór

Obierzmy przybliżenie, które zachodzi jako, że promień obwodu kołowego dipola magnetycznego b jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła c przez częstotliwość ω z jaką zmienia się prąd elektryczny Szablon:LinkWzór, czyli: Szablon:Formuła, zatem można napisać wedle wyglądu: Szablon:CentrujWzór Wzór na potencjał wektorowy Szablon:LinkWzór możemy napisać stosując wzór na odwrotność małego wycinka obwodu od punktu, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne według Szablon:LinkWzór, a także ze wzoru Szablon:LinkWzór, a do niego stosujemy przybliżenie w postaci Szablon:LinkWzór, zatem tą wielkość piszemy: Szablon:CentrujWzór Ponieważ zachodzą związki całkowe poniżej, które możemy wyprowadzić poniżej, które będą nam potrzebne do dalszych obliczeń. Szablon:ElastycznyWiersz Wzór na potencjał wektorowy ostatnio napisanej Szablon:LinkWzór, przy wyznaczonych w całkach Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, jest wedle wyglądu: Szablon:CentrujWzór

W układzie, gdy $\overrightarrow{r}$ jest nad osią x, można przekształcić do układu, gdy tak nie jest, w tym przypadku wektor potencjału wektorowego jest równoległy do wersora ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$ sferycznego układu współrzędnych, zatem nasz potencjał wektorowy dla potencjału wektorowego Szablon:LinkWzór jest równy: Szablon:CentrujWzór Jeśli zastosujmy następne przybliżenie, tzn.:Szablon:Formuła, zatem wzór na potencjał wektorowy Szablon:LinkWzór jest przedstawiony: Szablon:CentrujWzór Następnym krokiem jest obliczenie natężenia pola elektrycznego w określonym punkcie dla dipola magnetycznego i należy posłużyć się wnioskiem, że potencjał skalarny jest równy zero, a więc jego dywergencja też jest równa zero, zatem jego gradient. Skorzystamy ze wzoru na natężenie pola elektrycznego Szablon:LinkWzór, zatem wyznaczmy tą wielkość: Szablon:CentrujWzór Jako ostatni krok jest obliczenie indukcji magnetycznej znając potencjał wektorowy Szablon:LinkWzór ze wzoru Szablon:LinkWzór, zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór Ale mamy odległość r od środka dipola magnetycznego spełniającego warunek Szablon:Formuła, wtedy można pominąć współrzędną radialną wektora indukcji magnetycznej względem współrzędnej φ-ej.

Wiedząc, że zachodzi związek napisanej w punkcie Szablon:LinkWzór w układzie kulistym, wtedy wektor Poytinga Szablon:LinkWzór, na podstawie definicji wektora natężenia pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i wektora indukcji pola magnetycznego Szablon:LinkWzór, jest równy: Szablon:CentrujWzór Średnia wartość wektora Poytinga policzonej w punkcie Szablon:LinkWzór względem czasu jest wyrysowana: Szablon:CentrujWzór Średnia moc promieniowania wypromieniowana z dipola magnetycznego, liczymy wychodząc od wzoru Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z definicji całki oznaczonej obliczonej wcześniej Szablon:LinkWzór, piszemy według jego definicji: Szablon:CentrujWzór Zatem średnia moc promieniowania dipola magnetycznego Szablon:LinkWzór, jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się prąd w tym dipolu i od maksymalnej wartości momentu magnetycznego mSzablon:Sub jaką może przyjmować nasz dipol.

Promieniowanie elektromagnetyczne z dowolnego źródła

Szablon:Rysunek Potencjał skalarny w odległości Szablon:Formuła od układu współrzędnych jest opisany wzorem Szablon:LinkWzór dla przejrzystości wykładu: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:
• Szablon:Formuła jest to odległość danego punktu źródła od początku układu odniesienia,
• Szablon:Formuła jest to odległość danego punktu źródła do punktu, w którym należy obliczyć potencjał skalarny.

Z twierdzenia o składaniu wektorów według rysunku obok można napisać wzór: Szablon:CentrujWzór

Wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy równanie Szablon:LinkWzór możemy podnieść do kwadratu obie jego strony, wtedy otrzymujemy tożsamość wynikową poniżej, z którego wyznaczymy wyrażenie na sam skalar R: Szablon:CentrujWzór

Dokonajmy przybliżenia wielkości R Szablon:LinkWzór, jeśli punkt w którym liczymy potencjał skalarny jest daleko od źródła w porównaniu z rozmiarami tego ciała, czyli:Szablon:Formuła, dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór Można teraz otrzymać odwrotność odległości wielkości R zdefiniowanej w punkcie Szablon:LinkWzór dokonując odpowiednich przybliżeń: Szablon:CentrujWzór Również gęstość objętościową ładunku elektrycznego ρ liczoną dla danego położenia względem czasu opóźnionego Szablon:LinkWzór możemy rozłożyć w szereg Taylora do wyrazów drugiego rzędu włącznie, a dalsze wyrazy oznaczając wielokropkami, co piszemy jako: Szablon:CentrujWzór

• gdzie Szablon:Formuła.

Całkowity potencjał skalarny Szablon:LinkWzór możemy wyznaczyć, korzystając ze wzoru na gęstość objętościową ładunku ρ Szablon:LinkWzór obcinając w nim wyrazy kwadratowe i wyższe, a także wykorzystując odwrotność R, czyli Szablon:LinkWzór, w takim przypadku dostajemy: Szablon:CentrujWzór

Ponieważ wiadomo, że całkowity ładunek Q jest całką objętościową względem funkcji gęstości objętościowej Szablon:Formuła oraz że dipolowy moment elektryczny jest napisany wzorem: Szablon:Formuła, to potencjał skalarny Szablon:LinkWzór w takim przypadku piszemy: Szablon:CentrujWzór Gdy nasze ciało nie ma momentu dipolowego, to powyższe równania przechodzi w znane równanie z elektrostatyki, tzn.: Szablon:CentrujWzór Następnym następnym krokiem jest policzenie potencjału wektorowego, co w postaci dokładnej jest napisane według wzoru Szablon:LinkWzór, co przepiszemy tutaj go dla przejrzystości wykładu: Szablon:CentrujWzór

Można powiedzieć, że gęstość objętościowa prądu elektrycznego możemy rozłożyć w szereg Taylora z dokładnością do conaj wyżej pierwszego rzędu wyrazów w nim występujący, co piszemy: Szablon:CentrujWzór

To można powiedzieć, że wzór na potencjał wektorowy Szablon:LinkWzór, przy zastosowanym przybliżeniu Szablon:LinkWzór, a także z przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości R, czyli Szablon:LinkWzór, piszemy jako: Szablon:CentrujWzór

Ponieważ w danym punkcie Szablon:Formuła, w źródle mamy ściśle określoną gęstość prądu oraz jego pochodną, a ponieważ mamy do czynienia z ciałem bardzo małym, to w wyrażeniu na potencjał wektorowy możemy pominąć dwa kolejne ostatnie wyrazy, wtedy nasz wzór przyjmuje postać: Szablon:CentrujWzór

W rozdziale o elektrodynamice Maxwella udowodniliśmy, że całkowita gęstość prądu objętościowego ładunków jest równa sumie gęstości objętościowego ładunków swobodnych, rotacji namagnesowania i pochodnej cząstkowej względem czasu polaryzacji elektrycznej, co piszemy wzorem Szablon:LinkWzór

A ponieważ rozpatrujemy magnetycznie ciało o bardzo małych rozmiarach względem odległości od punktu, w którym liczymy potencjał wektorowy, zatem polaryzacja magnetyczna Szablon:Formuła i prąd swobodny są bardzo małe, zatem całkowita gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest pochodną polaryzacji elektrycznej względem czasu: Szablon:CentrujWzór Nasz przybliżony potencjał wektorowy Szablon:LinkWzór na podstawie wzoru na gęstość prądu elektrycznego dla naszego bardzo małego ciała Szablon:LinkWzór jest zapisana: Szablon:CentrujWzór

Z dokładnością do rzędu Szablon:Formuła, przybliżony potencjał skalarny Szablon:LinkWzór można zapisać jako: Szablon:CentrujWzór

Napiszmy teraz gradient potencjału skalarnego Szablon:LinkWzór jako jedna z wielkości pomocniczych w celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego pochodzącej od naszego ciała: Szablon:CentrujWzór I kolejno możemy policzyć pochodną cząstkową względem czasu wielkości, która jest potencjałem wektorowym napisanej dla naszego rozważanego ciała w punkcie Szablon:LinkWzór, zatem: Szablon:CentrujWzór W końcu możemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wychodząc z ogólnego wzoru panującego w elektrodynamice klasycznej Szablon:LinkWzór wykorzystując już obliczone wyrażenia na gradient potencjału skalarnego Szablon:LinkWzór i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego Szablon:LinkWzór, zatem do dzieła: Szablon:CentrujWzór Kolejnym krokiem jest policzenie indukcji pola magnetycznego, korzystając ze wzoru ogólnego Szablon:LinkWzór znając dla naszego przypadku policzony potencjał wektorowy Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że natężenie pola elektrycznego i indukcja pola magnetycznego dla ciała bardzo małego jest powtórzeniem wzorów, tzn. Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór. Szablon:ElastycznyWiersz Używając współrzędnych kulistych można zapisać wyrażenia: Szablon:ElastycznyWiersz A zatem natężenie pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i magnetycznego Szablon:LinkWzór we współrzędnych sferycznych są przedstawione: Szablon:ElastycznyWiersz Ostatnim krokiem jest policzenie wektora Poytinga Szablon:LinkWzór wykorzystując wzory na natężenie pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i wzór a indukcję pola magnetycznego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że pole elektryczne i magnetyczne są do siebie prostopadłe i są poprzeczne do kierunku rozchodzeni energii promieniowania (do wektora Poytinga).

Całkowita moc promieniowania można policzyć jako całkę powierzchnią po powierzchni zamkniętej wielkości Szablon:LinkWzór, wiedząc że mamy już policzoną całkę oznaczoną Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór