Elektrodynamika klasyczna/Prądy związane z polem namagnesowanego ciała

Pod wpływem pola magnetycznego zewnętrznego, powstają tak zwane prądy związane, które modyfikują z kolei pole otaczające to nasze ciało i wewnątrz tego ciała nazywanego ciałem spolaryzowanym magnetycznie.

Prądy związane w namagnesowanej substancji pod wpływem pola magnetostatycznego

Zajmować się będziemy się ciałem spolaryzowanym magnetycznie pod pływem pola magnetycznego zewnętrznego, wiemy jednak, że potencjał magnetyczny znajdujący się w pewnym punkcie jest wytwarzany przez prąd kołowy mający pewien moment magnetyczny Szablon:Formuła, jest on opisany wzorem Szablon:LinkWzór. Jeśli ciało składa się z nieskończenie małych momentów dipolowych Szablon:Formuła, a w praktyce bardzo małych, to potencjał wektorowy jest opisany: Szablon:CentrujWzór Moment magnetyczny nieskończenie małego elementu możemy wyrazić poprzez jego magnetyzację Szablon:LinkWzór w tymże punkcie: Szablon:CentrujWzór Podstawiając wzór Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór za nieskończenie mały moment dipolowy i całkując go po całej objętości ciała spolaryzowanego magnetycznie, wtedy potencjał wektorowy w danym punkcie jest równy: Szablon:CentrujWzór Jednakże korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy potencjał wektorowy Szablon:LinkWzór możemy przepisać po tych omawianych podstawieniach: Szablon:CentrujWzór Aby dokonać następnych przekształceń dokonajmy obliczeń pomocniczych, które będą bardzo nam potrzebne do przekształcenia całki występującej w Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wzór ostatni wynikowy wynikających z obliczeń na pochodnych Szablon:LinkWzór podstawiamy do równania Szablon:LinkWzór za jego funkcję podcałkową, wtedy dostajemy inne równoważne równanie na potencjał wektorowy wytwarzanych przez układ dipoli magnetycznych w ciele spolaryzowanych, zapisujemy te dysputy wedle: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy pewny lemat, korzystające z twierdzenia Ostrogradskiego Gaussa zastępując w tym twierdzeniu wektor Szablon:Formuła przez wektor w postaci iloczynu wektorowego Szablon:Formuła, dostając: Szablon:CentrujWzór Jeszcze udowodnimy następny wniosek tak by przekształcić lewą stronę funkcji podcałkowej ostatniej równości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Wniosek Szablon:LinkWzór używamy do końcowego wzoru Szablon:LinkWzór do jego lewej strony dla funkcji podcałkowej, i z dowolności stałej wektorowej Szablon:Formuła możemy napisać, że: Szablon:CentrujWzór Wniosek Szablon:LinkWzór możemy wykorzystać dla pierwszej całki w Szablon:LinkWzór zamieniając całkowaniem po objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia, na całkowanie po tej powierzchni, zatem ten wzór możemy zapisać: Szablon:CentrujWzór

Z drugiej strony potencjał wektorowy zależy od prądów objętościowych i powierzchniowych, czyli łącząc wzór na potencjał wektorowy pochodzących od prądów objętościowych ale związanych i potencjał wekorowy pochodzący od prądów powierzchniowych, to całkowity potencjał wektorowy będący sumą tychże wspomnianych potencjałów wektorowych jest zapisywany: Szablon:CentrujWzór Możemy porównać wzory Szablon:LinkWzór, który wynika z bezpośredniej definicji potencjału wektorowego w danym punkcie pochodzących od prądów objętościowych i powierzchniowych z Szablon:LinkWzór. Wiedząc że cały układ ciała spolaryzowanego składa się z małych dipoli magnetycznych w praktyce bardzo małych, a matematycznie uważa się je za nieskończenie małe, zatem prądy powierzchniowe i objętościowe ale związane przedstawiają się według: Szablon:ElastycznyWiersz Doszliśmy do wniosku, że prądy związane powierzchniowe i objętościowe zależą bardzo silnie od namagnesowania badanej substancji.

Natężenie pola magnetycznego a prawo Ampere'a w materiałach magnetycznych

Całkowite natężenie prądu w magnetycznej substancji jest równe prądom objętościowych związanych i swobodnych w danym punkcie przestrzeni wynikających z sumowania natężeń prądów, a to z addytywności infinitezymalnych ładunków płynących w bardzo małej objętości dV. Szablon:CentrujWzór Prawo Stokesa dla pola magnetycznego Szablon:LinkWzór, który jest definicją całkowitego prądu objętościowego płynącego w danym elemencie nieskończenie małej objętości, możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Dokonując pewnych przekształceń w Szablon:LinkWzór, biorąc wszystkie wyrazy stojące po prawej stronie przenosząc na jej lewą stronę oprócz gęstości prądów związanych i wykorzystując tożsamość Szablon:LinkWzór, wtedy można: Szablon:CentrujWzór Z definiujmy natężenie pola magnetycznego Szablon:Formuła przez indukcję pola magnetycznego i namagnesowania w danym punkcie przestrzeni: Szablon:CentrujWzór co jest równoważne wyznaczając z Szablon:LinkWzór wektor indukcji pola magnetycznego, który jest funkcją jak się przekonamy natężenia pola magnetycznego i namagnesowania ciała w danym punkcie przestrzeni: Szablon:CentrujWzór Podstawmy definicję natężenia pola magnetycznego Szablon:LinkWzór do końcowego wzoru Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy wyrażenie: Szablon:CentrujWzór Prawo Szablon:LinkWzór, które jest słuszne dla spolaryzowanego magnetycznie ciała w postaci różniczkowej, to najpierw całkując je obustronnie po powierzchni ograniczonej przez pewną zamknięty kontur i zamieniając lewą stronę całki wedle twierdzenia Stokesa na całkowanie po tym konturze i z definicji gęstości prądu elektrycznego Szablon:LinkWzór dla prądów związanych wspomniane prawo zapisujemy w postaci całkowej: Szablon:CentrujWzór Jest to prawo Ampere'a dla spolaryzowanego magnetycznie ciała pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego.

Natężenie pola magnetycznego a prawo Gaussa

Wyznaczmy czemu jest równe dywergencja natężenia pola magnetycznego zdefiniowanego wedle wzoru Szablon:LinkWzór, korzystając z prawa Gaussa dla tego samego pola Szablon:LinkWzór możemy udowodnić, że ono jest równe dywergencji namagnesowaniu ciała określających w danym punkcie ze znakiem minus: Szablon:CentrujWzór W Szablon:LinkWzór nie jest oczywiste, że Szablon:Formuła jest równe dla ogólności zero, a jak się można przekonać jest ono równe zero dla magnetyków liniowych. Prawo Szablon:LinkWzór możemy zapisać w postaci całkowej wedle: Szablon:CentrujWzór

Warunki brzegowe a substancje magnetyczne

Szablon:Rysunek Obierzmy sobie pewien bardzo mały prostopadłościan, którego podstawy są równoległe do granicy między dwoma ośrodkami magnetycznymi na małym wycinku powierzchni tej granicy, wtedy ten wycinek przypomina płaską płaszczyznę, na którym jest położony prostopadłościan z czego będziemy korzystali, a ścianki boczne są do tej powierzchni prostopadłe, zakładamy, że pola wszystkich ścianek dążą do zera, którego podstawy mają takie pole że stosunek pola dowolnej ścianki bocznej przez pole dowolnej podstawy dąży do zera, zatem jedynymi niezerowymi strumieniami natężenia pola magnetycznego i namagnesowania są strumienia pochodzące od podstaw, które będziemy uwzględniać, bo strumienia pochodzące od podstaw są nieskończenie duże od strumieni pochodzących od ścianek bocznych, zatem prawo wedle końcowego wzoru Szablon:LinkWzór przy pominięciu wyrazów pochodzące od ścianek bocznych, bo ich pola są nieskończenie małe od pól podstaw, a mianowicie też ich strumienie, zatem zapisujemy prawo Gaussa dla naszego prostopadłościanu: Szablon:CentrujWzór Szablon:Rysunek Obierzmy sobie mały prostokąt, którego powierzchnia jest prostopadła do powierzchni małego wycinka granicy między ośrodkami spolaryzowanymi, tak by ten wycinek przypominał płaską płaszczyznę, z czego skorzystamy na rysunku obok: Szablon:CentrujWzór Gęstość prądu powierzchniowego Szablon:LinkWzór, które też można zapisać równoważnie w postaci, gdy l jest małe, ale na tyle duże od boków bocznych prostokąta, czyli tą wielkość zapisujemy wedle sposobu Szablon:Formuła, to podzielmy równanie Szablon:LinkWzór przez długość boku górnego lub dolnego, które są sobie równe, czyli przez l, a zatem z wspomnianej definicji gęstości prądu powierzchniowego, jest: Szablon:CentrujWzór Równanie Szablon:LinkWzór możemy również zapisać w postaci wektorowej: Szablon:CentrujWzór

• gdzie: Szablon:Formuła jest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny na której płynie prąd na granicy pomiędzy dwoma ośrodkami.

Ciała magnetyczne liniowe, podatność i przenikalność magnetyczna

Zajmować się tu substancjami, w których występuje liniowe zachowanie natężenia pola magnetycznego od jej magnetyzacji dla ciała spolaryzowanego magnetycznie: Szablon:CentrujWzór

• gdzie χ jest to podatność magnetyczna dla pola magnetycznego.

Z definicji indukcji magnetycznej, zależności od namagnesowania i natężenia pola magnetycznego Szablon:LinkWzór można je zapisać wiedząc, że namagnesowanie ciała w danym punkcie jest według Szablon:LinkWzór, zapisujemy go wynikających z jego definicji: Szablon:CentrujWzór Z definiujmy sobie względną przenikalność magnetyczną występującą w Szablon:LinkWzór wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór Wyrażenie na indukcję pola magnetycznego w zależności od jego natężenia Szablon:LinkWzór przy definicji względnej przenikalności magnetycznej Szablon:LinkWzór można zapisać: Szablon:CentrujWzór Jeśli zdefiniujemy przenikalność magnetyczną ośrodka liniowego: Szablon:CentrujWzór wtedy wzór Szablon:LinkWzór na podstawie definicji przenikalności magnetycznej Szablon:LinkWzór można zapisać: Szablon:CentrujWzór Jak widać, że kierunek i zwrot wektora indukcji magnetycznej i natężenia pola magnetycznego są ze sobą zgodne dla ciał magnetycznych linowych.

Prąd objętościowy zdefiniowany w zależności od jego magnetyzacji jest napisany wedle wzoru Szablon:LinkWzór, co korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór dla ciał liniowych magnetycznie, powiemy: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że wedle wniosków wynikających z Szablon:LinkWzór, gdy nie ma prądów swobodnych objętościowych, to gęstość prądów związanych objętościowych też jest równa zero.