Elektrodynamika klasyczna/Elektrodynamika relatywistyczna

Tutaj będziemy rozpatrywać elektrodynamikę jako równania magnetyzmu i elektryczności jako zjawisko czysto relatywistyczne. W elektrodynamice relatywistycznej przyjmujemy tensor metryczny o dwóch możliwych sygnaturach, tzn. gdy w zdiagonalizowanej macierzy Minkowskiego są elementy na diagonalnej (1,-1,-1,-1), to tą sygnaturę nazywamy dodanią, a gdy na diagonalnedj występują liczby (-1,1,1,1), to tą sygnaturę nazywamy ujemną, gdy będziemy pisać we wzorach matematycznych fizyki w elektrodynamice relatywistycznej, to Szablon:Formuła lub Szablon:Formuła, to znak na górze jest to sygnatura dodatnia, a na dole ujemna.

Gęstość ładunku, wektor gęstości prądu i czterowektor gęstości prądu

Objętość pewnego elementu V względem jej wartości spoczynkowej VSzablon:Sub, tzn. objętość cząstki materii, gdy ona jest w spoczynku, jest wyrażona przez: Szablon:CentrujWzór Z tożsamości Szablon:LinkWzór gęstość danej cząstki materii można ją wyrazić poprzez gęstość spoczynkową tej samej cząstki wedle: Szablon:CentrujWzór Gęstość prądu w przypadku relatywistycznym jest podobnie definiowany jak w punkcie Szablon:LinkWzór, tylko gęstość ładunku elektrycznego w nim występującą wyrażamy poprzez: Szablon:CentrujWzór Wprowadzając gęstości prądu przy pomocy przestrzennych elementów czterowektora prędkości prędkości uSzablon:Sup, to jego definicja jest: Szablon:CentrujWzór W elektrodynamice relatywistycznej wprowadza się czerowektor prędkości, którego element czasowy to jest gęstość ładunku elektrycznego pomnożonej przez prędkość światła c, a jej element przestrzenny to jest wielkość wektora gęstości prądu elektrycznego, zatem jego definicja jest: Szablon:CentrujWzór Elementy tensora Szablon:LinkWzór możemy w sposób ogólny zapisać za pomocą czterowektora prądu objętościowego JSzablon:Sup łącząc jego dwa przypadki wedle wzorów na część czasową czerowektora prędkości Szablon:LinkWzór i na elementy przestrzenne czerowektora prądu elektrycznego Szablon:LinkWzór, wtedy otrzymujemy schemat liczenia czerowektora prądu elektrycznego: Szablon:CentrujWzór

Tensorowe równanie ciągłości

Równanie ciągłości zapisane w punkcie Szablon:LinkWzór można tak zapisać, że przy tym równaniu jej część czasową tak zapisujemy, że mnożymy jego licznik i mianownik przez prędkość światła c i biorąc definicję czerowekta gęstości prądu Szablon:LinkWzór, to: Szablon:CentrujWzór Przyjmijmy oznaczenia występujące powyżej w Szablon:LinkWzór wedle schematu: xSzablon:Sup=ct, xSzablon:Sup=x, xSzablon:Sup=y, xSzablon:Sup=z. Następnie korzystając z końcowej równości Szablon:LinkWzór, to równanie ciągłości zapisujemy: Szablon:CentrujWzór

Tensory w elektrodynamice pól elektromagnetycznych

Będziemy się zajmować tensorami pól elektromagnetycznych i też tensorem dualnym do tensora pola elektromagnetycznego.

Tensor pola elektromagnetycznego dla próżni

Tensor pola elektromagnetycznego dla próżni jest: Szablon:CentrujWzór Tensor pola elektromagnetycznego dla próżni jest tensorem antysymetrycznym.

Tensor pola elektromagnetycznego dla materii

Tensor pola elektromagnetycznego dla materii jest: Szablon:CentrujWzór

Porównując Szablon:LinkWzór z tensorem pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór, to ten drugi tensor pola elektromagnetycznego dla materii powstaje poprzez zastąpienie wedle schematu, tzn. Szablon:Formuła oraz też wedle schematu w tym samym tensorem dla materii Szablon:Formuła.

Tensor pola elektromagnetycznego dla materii jest tensorem antysymetrycznym.

Tensor dualny pola magnetycznego dla próżni i materii

Tensor dualny dla elektromagnetyzmu jest w postaci: Szablon:CentrujWzór

Można zauważyć, że tensor dualny Szablon:LinkWzór powstaje z tensora pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór przez podstawianie: Szablon:Formuła, a także przez Szablon:Formuła.

Tensor dualny jest tensorem antysymetrycznym.

Tensorowe równania Maxwella

Przedstawimy tutaj tensorowe równania elektrodynamiki dla próżni i dla materii.

Tensorowe równania Maxwella dla próżni

Korzystając z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni i tensora dualnego, to równania Maxwella możemy zapisać w postaci tensorowej: Szablon:ElastycznyWiersz Co Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są równoważne dwom równaniom tensorowym: Szablon:ElastycznyWiersz Najpierw udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=0, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy pierwsze prawo Maxwella Szablon:LinkWzór przy definicji czasowej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór, dla parametru μ=1, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella Szablon:LinkWzór zapisaną dla jej współrzędnej iksowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=2, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella Szablon:LinkWzór zapisaną dla jej współrzędnej igrekowy przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=3, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella Szablon:LinkWzór zapisaną dla jej współrzędnej zetowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór

Zatem dla μ=1,2,3 otrzymujemy czwarte prawo Maxwella Szablon:LinkWzór przy pomocy dowodów ostatnich trzech równań, tzn. Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór i w końcu Szablon:LinkWzór.

Teraz udowodnijmy drugi wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=0, korzystając przy tym z definicji tensora dualnego pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy drugie prawo Maxwella Szablon:LinkWzór zapisaną przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór, dla parametru μ=1, korzystając przy tym z definicji tensora dualnego pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy trzecie prawo Maxwella Szablon:LinkWzór zapisaną dla jej współrzędnej iksowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=2, korzystając przy tym z definicji tensora dualnego pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy trzecie prawo Maxwella Szablon:LinkWzór zapisaną dla jej współrzędnej igrekowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=3, korzystając przy tym z definicji tensora dualnego pola elektromagnetycznego dla próżni Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella Szablon:LinkWzór zapisaną dla jej współrzędnej zetowej przy definicji przestrzennej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór, a na samym końcu Szablon:LinkWzór przy definicji tensora dualnego dla pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór, że równanie tensorowe Maxwella Szablon:LinkWzór przechodzi w drugie i w trzecie rówanie Maxwella. Zatem dwa tensorowe równania Maxwella są poprawne Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór i one przechodzą w cztery równania elektrodynamika sformułowane przez Maxwella.

Tensorowe równania Maxwella dla materii

Korzystając z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla próżni i tensora dualnego, to równania Maxwella możemy zapisać w postaci tensorowej: Szablon:ElastycznyWiersz Co Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są równoważne dwom równaniom tensorowym: Szablon:ElastycznyWiersz Najpierw udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór, dla parametru μ=0, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla materii Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy pierwsze prawo Maxwella Szablon:LinkWzór dla materii przy definicji czasowej czterowektora prędkości Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=1, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla materii Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella Szablon:LinkWzór dla materii przy iksowej jego składowej. Także skorzystamy z definicji czterowektora prądu objętościowego ładunków elektrycznych Szablon:LinkWzór, zatem dochodzimy wtedy do wniosku: Szablon:CentrujWzór. Następnie udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=2, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla materii Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella Szablon:LinkWzór dla materii przy igrekowej jego składowej. Także będziemy korzystać z definicji czterowektora prądu objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Na sam koniec udowodnijmy pierwszy wzór tensorowy Szablon:LinkWzór dla parametru μ=3, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego dla materii Szablon:LinkWzór. I jak się przekonamy otrzymamy czwarte prawo Maxwella Szablon:LinkWzór dla materii przy definicji zetowej jego składowej czterowektora prądu elektrycznego objętościowego Szablon:LinkWzór: Szablon:CentrujWzór Zbierając razem trzy ostatnie wynikowe równania otrzymujemy czwarte prawo Maxwella dla materii Szablon:LinkWzór.

Tensor pola elektromagnetycznego poprzez czteropotencjał

We wzorach na natężenie pola elektrycznego w zależności od potencjału skalarnego i wektorowego Szablon:LinkWzór, i we wzorze Szablon:LinkWzór występuje potencjał skalarny i wektorowy. Te potencjały można napisać ogólnie w postaci czterowektora potencjału tensorowego kontrkowariantnego: Szablon:CentrujWzór lub w postaci kowariantnej jako odpowiednim wzoru Szablon:LinkWzór, który otrzymamy wymnóżając ostatnio wspomnianą definicję podwójnie kontrwariatnego tensora potencjały tensorowego przez odpowiedni tensor metryczny, tzn. przez tensor metryczny przestrzeni Minkowskiego ηSzablon:Sub: Szablon:CentrujWzór Weźmy tensor Szablon:LinkWzór i zdefiniujmy go w oparciu o definicję czterowektora potencjału elektromagnetycznego, zatem tą tożsamość piszemy: Szablon:CentrujWzór Udowodnijmy w tym celu, że przepis Szablon:LinkWzór przechodzi w tożsamość wcześniej wprowadzoną Szablon:LinkWzór, przy tym będziemy korzystać z przedstawienia tensora pola elektromagnetycznego TSzablon:Sup, zatem przejdźmy do sedna sprawy: Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Z obliczeń Szablon:LinkWzór, Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że tożsamość Szablon:LinkWzór przechodzi w napisany wcześniej wzór Szablon:LinkWzór. Następnym krokiem jest udowodnienie, że Szablon:LinkWzór przechodzi we wzór Szablon:LinkWzór, przy tym będziemy korzystać ze przedstawienia tensora pola elektromagnetycznego TSzablon:Sup, zatem przejdźmy do sedna sprawy. Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Szablon:CentrujWzór Zatem udało nam się udowodnić co zamierzaliśmy. Otrzymaliśmy zatem dwa równania opisujące natężenie pola elektrycznego Szablon:LinkWzór i tożsamość Szablon:LinkWzór na indukcję pola magnetycznego.

Tensorowe równania Maxwella a zgodność z teorią względności

Udowodnimy zgodność tensorowych równań Maxwella dla próżni i materii.

Tensorowe równania Maxwella, a zgodność z teorią względności dla próżni

Zakładamy, że w starym układzie współrzędnych w próżni są spełnione równania tensorowe Maxwella na podstawie ich ogólnego przedstawienia Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór: Szablon:ElastycznyWiersz Według szczególnej teorii względności powyższe równania w starym układzie współrzędnych są równoważne równaniom w nowym układzie współrzędnych w formie: Szablon:ElastycznyWiersz Tensor pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór też jest również tensorem, bo on również transformuje się z jednego układu współrzędnych do innego w sposób: Szablon:CentrujWzór Podstawmy transformację tensora pola elektromagnetycznego FSzablon:Sup, który opisuje transformację ze starego do nowego układu współrzędnych, do pierwszego równania tensorowego Maxwella Szablon:LinkWzór do jego lewej strony: Szablon:CentrujWzór Napiszmy lewą stronę tensorowego równania Maxwella Szablon:LinkWzór, korzystając z wiadomości z metod matematycznych fizyki o tensorach, że ten tensor gęstości objętościowej prądu elektrycznego transformuje się z jednego układu współrzędnych (ze starego) do drugiego układów współrzędnych (do nowego) wedle: Szablon:CentrujWzór Przyrównajmy obie strony równania Szablon:LinkWzór do siebie, czyli Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, wtedy przenieśmy wszystkie wyrazy z jego lewej strony na prawą jakie są i wydzielmy pewne wyrazy pod nawias, w celu udowodnienia niezmienniczości tensorowych równań Maxwella, wtedy dostajemy tożsamość: Szablon:CentrujWzór Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie Szablon:LinkWzór udowodniliśmy, że jeśli zachodzi Szablon:LinkWzór co ono jest równanie spełnione w starym układzie współrzędnych, to w ten sposób udowodniliśmy, że ono także spełnione w nowym układzie odniesienia, co w tym układzie spełniony jest wzór Szablon:LinkWzór. Podobnie dowodzimy niezmienniczość drugiego tensorowego równanie Maxwella, że równanie tensorowe co jest spełnione w nowym układzie odniesienia, czyli Szablon:LinkWzór, na podstawie tego widzimy, że ten pierwszy wzór przechodzi w ten drugi, czyli we wzór Szablon:LinkWzór, i odwrotnie.

Czyli dowodzimy, że nasze równania tensorowe równania Maxwella dla próżni Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór są niezależne od wyboru układu odniesienia inercjalnego.

Tensorowe równania Maxwella, a zgodność z teorią względności dla materii

Zakładamy, że w starym układzie współrzędnych w próżni są spełnione równania tensorowe Maxwella na podstawie ich ogólnego przedstawienia Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór Szablon:ElastycznyWiersz Według szczególnej teorii względności powyższe równania w starym układzie współrzędnych są równoważne równaniom w nowym układzie współrzędnych w formie: Szablon:ElastycznyWiersz

Niezmienniczość od inercjalnego układu odniesienia drugiego tensorowego równania Maxwella Szablon:LinkWzór tak samo się udowodnia jak dla próżni Szablon:LinkWzór. W przypadku pierwszego równania Szablon:LinkWzór musimy wykorzystać, że SSzablon:Sup jest tensorem i transformuje się ze starego układu do nowego w sposób: Szablon:CentrujWzór Dowód, że równanie tensorowe Szablon:LinkWzór w starym układzie odniesienia przechodzi w wyniku transformacji w równanie w nowym układzie odniesienia wedle postaci Szablon:LinkWzór, który jest bardzo podobny jak dla próżni, tylko musimy tym razem zastosować transformację tensora SSzablon:Sup Szablon:LinkWzór w postaci Szablon:LinkWzór.

Tensorowy charakter czteropotencjału, a tensor pola elektromagnetycznego

Następnie udowodnijmy, czy równanie na tensor pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór napisany w zależności od czteropotencjału prądu elekrycznego Szablon:LinkWzór jest niezależny od układu współrzędnego inercjalnego. Oczywiste jest, że czteropotencjał w elektromagnetyzmie jest tensorem, a więc transformuje się ze starego układu współrzędnych do nowego wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór W starym układzie odniesienia powino mieć miejsce wzór ponizej, względem jego postaci ogólnej zapisaną w punkcie Szablon:LinkWzór po zastosowaniu transformacji czeropoencjału Szablon:LinkWzór wedle sposobu: Szablon:CentrujWzór

Ze względu, że równania w szczególnej teorii względności transformujące są tak zbudowane by ich postać była niezmiennicza niezależna od układu odniesienia i współrzędne położenia lub czasu transformują ze starego układu odniesienia do nowego czy odwrotnie, a także wiedząc, że zachodzi tożsamość Szablon:Formuła, wtedy dochodzimy do wniosku: Szablon:CentrujWzór

W ten sposób udowodniliśmy, że jeśli czteropotencjał jest tensorem Szablon:LinkWzór, to tensor pola elektromagnetycznego również jest nim.

Tensorowe cechowanie Lorentza

Cechowania Lorentza Szablon:LinkWzór możemy zapisać wedle sposobu poniżej. Cechowanie Lorentza przekształćmy, by można było zastosować definicję czteropotencjału, tak by przy gęstości objętościowej ładunku znajdowała się literka c, co określa wartość prędkości światła. Szablon:CentrujWzór Korzystając z definicji czteropotencjału Szablon:LinkWzór, wtedy wzór Szablon:LinkWzór możemy zapisać w bardziej elegancki tensorowy sposób wedle: Szablon:CentrujWzór

Tensorowe równania Maxwella a czteropotencjał i czteroprąd

Korzystając z pierwszego tensorowego równania Maxwella dla próżni Szablon:LinkWzór, wtedy do tego wzoru możemy podstawić tożsamość Szablon:LinkWzór, wtedy dostajemy: Szablon:CentrujWzór Teraz z korzystajmy z tensorowej postaci cechowania Lorenzta Szablon:LinkWzór, wtedy równanie Szablon:LinkWzór przechodzi w równanie poniżej, które to tutaj skorzystamy z definicji operatora dalambercjanu Szablon:LinkWzór, wtedy możemy napisać: Szablon:CentrujWzór Widzimy, że równanie końcowe tensorowe Szablon:LinkWzór jest odpowiednikiem równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, wynika to na podstawie definicji czerowektora potencjału elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór i czterowektora prądu objętościowego ładunków elektrycznych Szablon:LinkWzór.

Czterowektor siły w elektrodynamice

Czterowektor siły definiujemy w oparciu o definicję tensora pola elektrycznego Szablon:LinkWzór oraz o definicję czterowektora prędkości wedle: Szablon:CentrujWzór I wyznaczmy najpierw trzy kolejne składowe czterowektora siły Szablon:LinkWzór dla parametru μ>0, zatem przejdźmy do dzieła, czyli wyznaczmy współrzędną iksową czterowektora siły, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Następnie określmy współrzędną igrekową czterowektora siły wedle Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór Następnie określmy współrzędną zetową czterowektora siły wedle Szablon:LinkWzór, korzystając przy tym z definicji tensora pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór. Szablon:CentrujWzór

Czyli ogólnie otrzymaliśmy na podstawie liczenia współrzędnych czasoprzestrzenych czterowektora siły Szablon:LinkWzór wzór w postaci: Szablon:CentrujWzór

• gdzie:$\overrightarrow{F}$ jest to siła Lorentza wprowadzone w punkcie określonym jako Szablon:LinkWzór, czyli taki sam wzór mamy w elektromagnetyzmie na tą wielkość.

Transformacja czterowektora siły, a właściwie jej współrzędna przestrzenne wygląda tak samo w szczególnej teorii względności jak w punkcie Szablon:LinkWzór. A teraz wyznaczmy element czterosiły Szablon:LinkWzór dla wskaźnika μ=0, zatem zróbmy to: Szablon:CentrujWzór Zbierając wszystkie elementy czterowektora siły, tzn. najpierw jej część czasową Szablon:LinkWzór i później jej część przestrzenną Szablon:LinkWzór, zatem mówiąc ogólnie czterowektor siły wyraża się wzorem w naszym przypadku: Szablon:CentrujWzór Powyższy wzór na czterowektor siły jest ten sam, co wyprowadziliśmy w szczególnej teorii względności, też czterowektora siły, a więc definicja czterowektora siły w elektrodynamice relatywistycznej jest poprawna i zgodna ze szczególną teorią względności ogłoszoną w 1905 przez Einsteina.

Transformacje pól magnetycznych i elektrycznych

Będziemy się zajmować transformacjami względem szczególnej teorii względności pol natężenia i indukcji pola elektrycznego a także natężenia i indukcji pola magnetycznego.

Transformacje natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego

Macierz transformacji ze starego układu odniesienia do nowego układu odniesienia inercjalnego w szczególnej teorii względności jest opisana wzorem: Szablon:CentrujWzór Skorzystamy też, że tensor pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór jest tensorem, więc transformuje się według wzoru Szablon:LinkWzór przy macierzy transformacji napisanej wzorem Szablon:LinkWzór. wyznaczmy wzory jak transformują się współrzędne natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego. Szablon:CentrujWzór Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej iksowej pola elektrycznego wedle obliczeń Szablon:LinkWzór. Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna igrekowa natężenia pola elektrycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego. Szablon:CentrujWzór Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej igrekowej pola elektrycznego wedle obliczeń Szablon:LinkWzór. Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna zetowa natężenia pola elektrycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego. Szablon:CentrujWzór Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej zetowa pola elektrycznego wedle obliczeń Szablon:LinkWzór. Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna iksowa indukcji pola magnetycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego. Szablon:CentrujWzór Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej iksowa indukcji pola magnetycznego wedle obliczeń Szablon:LinkWzór. Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna igrekowa indukcji pola magnetycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego. Szablon:CentrujWzór Stąd otrzymujemy pierwszą zależność współrzędnej igrekowa pola elektrycznego wedle obliczeń Szablon:LinkWzór. Zbadajmy jaka jaka jest współrzędna zetowa indukcji pola elektrycznego w nowym układzie współrzędnych w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego. Szablon:CentrujWzór Jeśli dwa układy inercjalne odniesienia poruszają się zawsze równolegle do siebie, to transformacje natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego przedstawiają się wedle sposobu: Szablon:Tabelka

• gdzie u jest to prędkość układu odniesienia nowego względem starego.

Podobne rozwiązania otrzymujemy, gdy rozważamy tensor dualny GSzablon:Sup, transformując go ze starego inercjalnego układu odniesienia do nowego. Gdy mamy stary i nowy układ współrzędnych ogólnie nieprostokątne trójwymiarowe, w którym prędkość nowego układu współrzędnych ma jakiś kierunek ogólnie nierównoległy do osi OX starego układu współrzędnych oraz gdy nowy układ odniesienia jest ogólnie nierównoległy do starego, wiedząc, że układ prostokątny trójwymiarowy stary i nowy, na samym początku przed przejściem na układy ogólnie nieprostokątne, są do siebie równoległe i prędkość nowego układu współrzędnych jest równoległa do osi OX względem starego układu odniesienia, dokonując transformacji obrotu osi starego i nowego układu współrzędnych oraz transformując współrzędne i wersory z tych układów prostokątnych, tzn. przechodząc z tych układów trójwymiarowych prostokątnych starego i nowego równoległych względem siebie, mamy: Szablon:Tabelka

• gdzie Szablon:Formuła jest to prędkość układu odniesienia nowego względem starego.

Transformacje indukcji pola elektrycznego i natężenia pola magnetycznego

Transformacje pola indukcji elektrycznej otrzymujemy z transformacji natężenia pola elektrycznego poprzez zastąpienie: Szablon:Formuła, a natężenia pola elektrycznego z transformacji indukcji pola magnetycznego poprzez zastąpienie Szablon:Formuła, to wszystko robimy dla transformacji natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego, wtedy dochodzimy do wniosku: Szablon:Tabelka

• gdzie u jest to prędkość układu odniesienia nowego względem starego.

Gdy mamy stary i nowy układ współrzędnych ogólnie nieprostokątne trójwymiarowe, w którym prędkość nowego układu współrzędnych ma jakiś kierunek ogólnie nierównoległy do osi OX starego układu współrzędnych oraz gdy nowy układ odniesienia jest ogólnie nierównoległy do starego, wiedząc, że układ prostokątny trójwymiarowy stary i nowy, na samym początku przed przejściem na układy ogólnie nieprostokątne, są do siebie równoległe i prędkość nowego układu współrzędnych jest równoległa do osi OX względem starego układu odniesienia, dokonując transformacji obrotu osi starego i nowego układu współrzędnych oraz transformując współrzędne i wersory z tych układów prostokątnych, tzn. przechodząc z tych układów trójwymiarowych prostokątnych starego i nowego równoległych względem siebie, mamy: Szablon:Tabelka

Ważniejsza tożsamość elektrodynamiki klasycznej

Bardzo ważną tożsamością występującą w elektrodynamice klasycznej w przestrzeni Minkowskiego jest to tożsamość zdefiniowana przy pomocy tensora pola elektromagnetycznego Szablon:LinkWzór w postaci: Szablon:CentrujWzór Tożsamość fizyczną Szablon:LinkWzór możemy udowodnić podstawiając do niego Szablon:LinkWzór, zatem do dzieła. Szablon:CentrujWzór Aby dokończyć dalszą część dowodu należy wykorzystać twierdzenie o pochodnej różnicy i grupując wyrazy, zatem na podstawie tego mamy: Szablon:CentrujWzór W równaniu Szablon:LinkWzór wszystkie wyrazy parami są równe zero. Zatem powyższe wyrażenie jest zawsze równe zero, ze względu, że różniczkowanie cząstkowe w tym przypadku kowariantne jest zawsze działaniem względem siebie przemiennym według praw matematyki analizy matematycznej. Na tej podstawie tożsamość fizyczna Szablon:LinkWzór jest twierdzeniem prawdziwym.