Astrofizyka/Newtonowski model gwiazdy

Newtonowski model gwiazdy

Gwiazda jest wynikiem równowagi między zapadaniem grawitacyjnym a ciśnieniem gazu starającym się przeciwdziałać kolapsowi. Dla kuli gazu o promieniu r źródłem grawitacji jest masa w niej zawarta:

$m(r)=4\pi \underset{0}{\overset{r}{\int }}{r^{\prime }}^{2}d{r}^{\prime }\rho (r^{\prime })$

Masa ta na powierzchni jest źródłem przyśpieszenia grawitacyjnego:

$g(r)=G_N\frac{m(r)}{r^2}$

Na mały element masy dm=ρ(r)dV=ρ(r)S dr działa różnica sił δF=F(r + dr) - F(r)=dP S $\delta F=-g(r)dm.$ Daje to równania:

$\frac{dP}{dr}=-G_N\frac{m(r)\rho (r)}{r^2}(1)$ $\frac{dm}{dr}=4\pi \rho (r)r^2(2)$

Równania te należy uzupełnić równaniem stanu:

P=P(ρ)

Przy zadanych warunkach początkowych (np. gęstość ρc w centrum gwiazdy) jest to układ równań różniczkowych którego rozwiązanie da rozkład masy w gwieździe m(r), gęstości ρ(r) czy ciśnienia P(r).

Równania te należy uzupełnić równaniami opisującymi transport energii w gwieździe. W wyniku reakcji syntezy termojądrowej w warstwie odległej o r od centrum gwiazdy produkowana jest gęstość energii ε(r)=ρ(r) p_m w jednostce czasu (gęstość mocy promieniowania). p_m jest mocą promieniowaną przez jednostkową masę. Na powierzchni sfery 4πr² wysyłane jest promieniowanie jasność którego jest równa L(r). Moc promieniowania produkowanego przez warstwę między promieniem r i r+dr jest równe 4πr²ε(r). Promieniowanie to daje jasność dL. Bilans energetyczny daje więc równanie:

$\frac{dL}{dr}=4\pi r^2ϵ(r)=4\pi r^2\rho (r)p_m$

Płynący z wnętrza strumień energii jest konsekwencją różnicy temperatur

$j(r)=-K\frac{dT}{dr},$

gdzie K jest przewodnictwem cieplnym ośrodka (plazmy). Wysyłane promieniowanie przez sferę o promieniu r oczywiście wywołane jest przez strumień energii

$L(r)=4\pi r^{2}j(r)$

Rozkład temperatury T(r) i promieniowania gwiazdy L(r) opisany jest więc dodatkowymi równaniami różniczkowymi:

$K\frac{\text{d}T}{\text{d}r}=-\frac{L}{4\pi r^2}$ $\frac{\text{d}L}{\text{d}r}=4\pi r^2ϵ(r)=4\pi r^2\rho (r)p_m$

Przewodnictwo cieplne w gwieździe nie jest stałe. Zależy ono silnie od mechanizmu transportu energii, od temperatury i gęstości wewnątrz gwiazdy.

Równania gwiazdy należy więc uzupełnić równaniem na przewodnictwo cieplne ośrodka:

K=K(ρ,T)

Jeżeli przewodnictwo cieplne zdominowane jest przez promieniowanie (gaz fotonowy) to:

$K=\frac{4}{3}c\lambda a{T}^3$

gdzie σ=a c/4 jest współczynnikiem występującym w prawie Stefana-Boltzmanna (ciało doskonale czarne), a

$\lambda =\frac{1}{\rho \kappa }$

jest średnią drogą swobodną fotonu w plazmie, κ jest współczynnikiem nieprzeźroczystości ośrodka. W plazmie gwiazdy gdzie dominuje gaz elektronowy droga swobodna fotonu zależy od gęstości elektronów n_e i przekroju czynnego σ_e na rozpraszanie fotonów na elektronach (rozpraszanie Thomsona)

$\lambda =\frac{1}{\rho \kappa }=\frac{1}{n_e{\sigma }_e}.$

Dla przykładu we wnętrzu Słońca dla gęstości 10⁴ kg m^-3 średnia droga fotonu wynosi około 10^-5 m. Wnętrze gwiazdy nie jest przeźroczyste dla fotonów, staje się przeźroczyste dopiero w warstwie między R_γ=R-λ(R_γ) a promieniem gwiazdy R, gdzie droga swobodna fotonów jest większa od rozpraszającej warstwy plazmy. Promień R_γ nazywamy promieniem fotosfery (fotosfera). Jest to widoczny promień np. Słońca. Droga swobodna neutrin w większości gwiazd jest większa niż promień gwiazdy (wyjątkiem jest młoda gwiazda neutronowa). Neutrina niosą więc informację z samego centrum gwiazdy gdzie zachodzą reakcje syntezy jądrowej.

Równanie Lanego-Emdena

Równania gwiazdy newtonowskiej:

$\frac{dP}{dr}=-G_N\frac{m(r)\rho (r)}{r^2}$ $\frac{dm}{dr}=4\pi \rho (r)r^2$

można przekształcić do jednego rówania

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(\frac{r^2}{\rho }\frac{dP}{dr})=-4\pi G\rho (r)$

Równania te należy uzupełnić równaniem stanu. Tak dla przykładu równanie stanu politropy ma postać:

P=K ρ^Γ z Γ=1+1/n

jako wykładnikiem politropy. Bardzo wygodnie jest przejść do bezwymiarowego układu współrzędnych:

r=r₀ x

$\frac{1}{r_0^2}=\frac{4\pi G{\rho }_c^{2-\mathrm{\Gamma }}}{K(n+1)}$

gdzie ρ_c jest gęstością centralną gwiazdy. Podstawienie:

ρ = ρ_c θⁿ(x)

przekształca ostatnie równanie do równania Lanego-Emdena

$\frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}(x^2\frac{d\theta }{dx})=-{\theta }^n$

Istnieje kilka rozwiązań analitycznych. Dla przykładu, dla n=1 rozwiązaniem jest

θ(x)=sin(x)/x.

Ciśnienie w gwieździe jest równe

P=K ρ_c^Γθⁿ⁺¹.

Zerowanie się ciśnienia dla pewnego x₀ (x₀=π/2 dla n=1) wyznacza promień gwiazdy. Rozkład masy wewnątrz gwiazdy wyznacza funkcja m(r). Wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową wielkość

u(x)=m(r)/M_S

gdzie M_S jest masą Słońca. Jeżeli przez M_c oznaczymy sobie jako

$M_c=\frac{4}{3}{r}_0^3{\rho }_c,$

to drugie równanie można scałkować od 0 do x₀, co da masę gwiazdy

$\frac{M}{M_s}=3\frac{M_c}{M_s}\underset{0}{\overset{x_0}{\int }}dx{x}^2{\theta }^n(x)$

Przybliżenie Claytona

W środku gwiazdy gęstość jest w przybliżeniu stała ρ=ρ_c, masa gwiazdy narasta wtedy tak jak

$m(r)=\frac{4\pi }{3}{\rho }_c{r}^3$

Gradient ciśnienia maleje wtedy liniowo:

$\frac{dP}{dr}=-\frac{4\pi }{3}G{\rho }_c^{2}r$

Przy powierzchni gwiazdy ciśnienie powinno znikać. Ten fakt opisuje przybliżenie, które zrobił Clayton:

$\frac{dP}{dr}=-\frac{4\pi }{3}G{\rho }_c^{2}r{e}^{-(\frac{r}{a}{)}^2}$

wprowadzając ekspotencjalny zanik gradientu ciśnienia dla odległości rzędu a. Stała a jest wielkością fenomenologiczną dopasowywaną do danych obserwacyjnych. Pośrednio wyznacza ona promień gwiazdy. Wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową zmienną x:

r= a x

Można scałkować równanie dla ciśnienia, otrzymujemy:

$P(x)=\frac{2\pi }{3}G{\rho }_c^2(e^{-x^2}-e^{-x_0^2})$

gdzie

x₀=R/a.

Rozkład masy i ciśnienia dla gwiazdy newtonowskiej w przybliżeniu Claytona.

Rozkład masy i ciśnienia dla gwiazdy newtonowskiej w przybliżeniu Claytona.

Dzieląc stronami równania (1) i (2) i całkując, otrzymujemy funkcyjną postać dla narastania masy w gwieździe:

$m(x)=M_a\varphi (x)$

z

${\varphi }^2(x)=6\underset{0}{\overset{x}{\int }}dy{y}^5{e}^{-y^2}=6-3(x^4+2x^2+2)e^{-x^2}$

gdzie

$M_a=\frac{4}{3}{a}^3{\rho }_c$

Masa gwiazdy wyznaczona jest przez funkcję φ w punkcie x₀

$M=M_a\varphi (x_0)$

Linki zewnętrzne

• Variational Principles for Stellar Structure, Dallas C. Kennedy, Sidney A. Bludman, 1996.

Szablon:Nawigacja