Astrofizyka/Mechanika teoretyczna

Formalizm Lagrange'a

Równania ruchu Newtona fizyki klasycznej można wyprowadzić w formalizmie Lagrange'a (Joseph Louis Lagrange) z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania $S[𝐱(t)]$. Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange'a $L(𝐱,\dot{𝐱},t)$

$S[𝐱(t)]=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}dtL(𝐱,\dot{𝐱},t)$

Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera-Lagrange'a

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^i}=\frac{\partial L}{\partial x^i}$

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako

$p^i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^i}$

a siłę jako

$F^i(𝐱,\dot{𝐱},t)=\frac{\partial L}{\partial x^i}$

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona, gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange'a jako

$L(𝐱,\dot{𝐱},t)=\frac{1}{2}m{\dot{𝐱}}^2-U(𝐱,\dot{𝐱},t)$

Szczególną grupą sił, znanych jako siły zachowawcze, mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

$𝐅=-\mathrm{\nabla }U$

lub

${𝐅}^i=-\frac{\partial U}{\partial x^i}=-{\partial }_{i}U.$

Cząstka swobodna

Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym:

$m\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}=0$

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

$x^i\to {x^{\prime }}^i=R_j^i{x}^j+v^{i}t+x_0^i$ $t\to t^{\prime }=t+t_0$

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej. Właściwe transformacje Galileusza to:

$x^i\to {x^{\prime }}^i=x^i+v^{i}t+x_0^i$ $t\to t^{\prime }=t+t_0$

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego, odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v).

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy $\overrightarrow{u}=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}$, $\overrightarrow{u^{\prime }}=\frac{d\overrightarrow{x^{\prime }}}{dt}$, z właściwej transformacji Galileusza różniczkując, otrzymujemy

$\overrightarrow{u^{\prime }}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$

Energia układu fizycznego

Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem:

$\delta W=𝐅\cdot \delta 𝐫$.

Zakładając masa punktu materialnego jest stała i δW_total jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że

$\delta W_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\delta T$,

gdzie T jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana:

$T=\frac{m{𝐯}^2}{2}=\frac{1}{2}m{\dot{𝐱}}^2$.

Dla obiektów złożonych z wielu punktów mat., energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów mat. Zatem

$𝐅\cdot \delta 𝐫=-\mathrm{\nabla }U\cdot \delta 𝐫=-\delta U$

$\Rightarrow -\delta U=\delta T$

$\Rightarrow \delta (T+U)=0$.

Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia

$E=T+U=\frac{1}{2}m{\dot{𝐱}}^2+U$

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie zasady zachowania energii.

Formalizm Hamiltona

Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd {$x^i$, $p^i$}. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

$H(x,p)=\sum _i{p}_i{v}^i(x,p,t)-L(x,p(x,v,t),t)$

Dla cząsteczki w polu potencjału U

$H(p,x)=\frac{p^2}{2m}+U(x,t)$

Równania Lagrange'a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu

$\frac{d{p}^i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x^i}=-\frac{\partial U}{\partial x^i}=F^i$ $\frac{d{x}^i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p^i}$

Definiując nawiasy Poissona

$[A,B]=\sum _i(\frac{\partial A}{\partial x^i}\frac{\partial B}{\partial p^i}-\frac{\partial B}{\partial x^i}\frac{\partial A}{\partial p^i})$

zmianę dowolnej wielkości fizycznej F(x,p) z czasem można przedstawić jako

$\frac{dF}{dt}=-[H,F]+\frac{\partial F}{\partial t}$

Jeżeli wielkość fizyczna F jawnie nie zależy od czasu ($\frac{\partial F}{\partial t}=0$) to będzie zachowana (stała ruchu) gdy

$\frac{dF}{dt}=0\to [H,F]=0$

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy [A,B]=0.

Przykładem wielkości niekomutujacych jest pęd i położenie

$[x^i,p^j]={\delta }_{ij}$

W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości zasada nieoznaczoności.

Szablon:Nawigacja