Astrofizyka/Mechanika relatywistyczna

Ruch w czasprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria $x^{\mu }(\tau ),$ gdzie τ jest parametrem niezmienniczym (nie czasem). Np. można zdefiniowć c dτ= ds gdzie s jest interwałem czasoprzestrzennym , τ nazywamy czasem własnym.

$d\tau =dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni 3 wymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości:

$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }=\{\frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{d{x}^i}{dt}\}$

i czterowektor pędu

$p^{\mu }=m{u}^{\mu }.$

Wektor pędu (μ=i={1,2,3}) w fizyce relatywistycznej ma postać

$p^i=m{u}^i=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{d{x}^i}{dt}=m(v)\frac{d{x}^i}{dt}$

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej, jeżeli zamienimy masę spoczynkową m na masę retatywistyczną

$m(v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

Wielkości te nie są niezależne

$u^{\mu }{u}_{\mu }=g_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=c^2$

i podobnie

$p^{\mu }{p}_{\mu }=g_{\mu \nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }=m^2{c}^2$

Stąd otrzymujemy związek

$p_0=\frac{E_p}{c}=\pm \sqrt{{\overrightarrow{p}}^2+m^2{c}^2}$

Równanie ruchu cząstki swobodnej wynika z ekstremum całki działania (funkcjonału):

$S[x(s)]=mc\int ds=mc\int d\tau \sqrt{g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }}=\int d\tau L$

który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii ( linia geodezyjnej). L można interpretować jako funkcję Lagrange'a

$L(u(\tau ),x(\tau ))=mc\sqrt{g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }}=mc\sqrt{g_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }}$

Równania Eulera-Lagranga

$\frac{d}{d\tau }\frac{\partial L}{\partial u^{\mu }}=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu }}$

można uważać, za uogólnienie równania Newtona

$\frac{d{p}_{\mu }}{d\tau }=F_{\mu }$

z pędem uogólnionym

$p_{\mu }=\frac{\partial L}{\partial u^{\mu }}=m{u}_{\mu }$

i siłą uogólnioną

$F_{\mu }=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu }}$

Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z:

$g_{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)$

równanie linii geodezyjnej daje równanie prostej:

$\frac{d{u}^{\lambda }}{d\tau }=\frac{d^2{x}^{\lambda }}{d{\tau }^2}=0$

Szablon:Nawigacja