Astrofizyka/Kwantowy rozkład kanoniczny

Średnią kwantową (stan kwantowy) operatora A definiujemy jako

<A>=Tr(ρA)

gdzie stan układu fizycznego opisuje operator gęstości spełniający warunek

Tr(ρ)=1.

Entropię definiujemy jako

S= - kT Tr(ρln(ρ))

Gdy entropia S=0 stan kwantowy nazywamy stanem czystym, a gdy S≠0 stanem mieszanym. Kombinacja liniowa operatorów rzutowych Pn=|n><n|

ρ = \sum_{n} w_{n} P_{n}

z warunkiem

T r (ρ) = \sum_{n} w_{n} = 1

realizuje stan mieszany o entropii

S = \sum_{n} w_{n} \ln (w_{n}) .

Gdy stan określony jest więc przez pojedynczy operator rzutowy (n=n0, |n0>=|ψ>) Pψ=|ψ><ψ|, to jest to stan czysty (S=0) i

Ogólnie operator rzutowy powinien być funkcją niezmienników (energii H, liczby cząstek N).

Rozkład Gibbsa jest tak zdefiniowany, by entropia dwóch podukładów była liczbą addytywną

ρ = \frac{1}{Z} e^{- β H}

a $Z = T r (e^{- β H}) = e^{- β F}$ jest sumą statystyczną (konsekwencja warunku Tr(ρ)=1). Suma statystyczna definiuje energię swobodną Hermloltza

F = f V = - k T \ln (Z) = - k T \ln (T r (e^{- β (H - μ N})) .

W przypadku gdy w układzie zachowana jest liczba cząstek (<N>), dodajemy warunek dodatkowy, który oznacza zamianę w rozkładzie:

H→H - μ(N - <N>)

gdzie formalnie μ jest czynnikiem Lagrange'a. Rozkład (wielki rozkład kanoniczny) jest teraz w pełni określony przez:

ρ = \frac{1}{Z} e^{- β (H - μ N)}

a $Z = T r (e^{- β (H - μ N}) = e^{- β Ω}$ jest wielką sumą statystyczną (konsekwencja warunku Tr(ρ)=1). Średnia liczba cząstek:

< N > = n V = \frac{\partial Ω}{\partial μ} .

Suma statystyczna definiuje nowy potencjał termodynamiczny:

Ω = - k T \ln (Z) = - k T \ln (T r (e^{- β (H - μ N})) .

Jest prosty związek z energią swobodną

F=μ<N> + Ω

Stąd potencjał chemiczny to

= \frac{\partial F}{\partial n} .

Ciśnienie definiujemy jako:

P = - \frac{\partial F}{\partial V}

a entropię jako:

S= - k Tr(ρlnρ).

S = s V = - \frac{\partial F}{\partial T}

Energia wewnętrzna:

U=εV=<H>.

Stąd mamy związek termodynamiczny:

T s=P + ε

Zmiana ciśnienia z gęstością energii wyznacza prędkość propagacji fali dźwiękowej:

{(\frac{v}{c})}^{2} = \frac{d P}{d ϵ}

a zmiana z gęstością cząstek współczynnik ściśliwości:

K = 9 \frac{d P}{d n} = 9 \frac{d P}{d ϵ} \frac{d ϵ}{d n} = 9 \frac{d P}{d ρ} \frac{d}{d n} (f + T s) = 9 μ \frac{d P}{d ϵ} = 9 μ {(\frac{v}{c})}^{2}

określający prędkość dźwięku.

Menu nawigacyjne